Điều kiện xác định:

\(1 - \cos 3x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1\) \( \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{{2\pi }}{3}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(y = \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x \)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)\\ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6}\sin 2x - \sin \frac{\pi }{6}\cos 2x} \right) \end{array}\)

\(= 2\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \(\Rightarrow y \in \left[ { - 2;2} \right]\)

Ta có:

\(2\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{24}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

TXĐ: D=R

Ta có:

\(\begin{array}{l} y\left( { - x} \right)\\ = \cos \left( { - 2x} \right) - {\sin ^2}\left( { - x} \right)\\ = \cos 2x - {\left( { - \sin x} \right)^2}\\ = \cos 2x - {\sin ^2}x\\ = y\left( x \right) \end{array}\)

Hàm số đã cho là hàm số chẵn

Ta có: 

\(\cot \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \cot \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \dfrac{{7\pi }}{{24}} + k\dfrac{\pi }{2}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(2{\cos ^2}2x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos 2x - \sqrt 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2\cos x + \sqrt 3 } \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k2\pi \\ 2x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\sqrt 2 \sin x - \sqrt 2 \cos x = \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x - \cos x} \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{3}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \pi- \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{11\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có:

\(\cos 5x + \cos x = \sin 2x - \sin 4x\)\( \Leftrightarrow 2\cos 3x.\cos 2x = - 2\cos 3x\sin x\)\( \Leftrightarrow 2\cos 3x\left( {\cos 2x + \sin x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2\cos 3x\left( { - 2{{\sin }^2}x + \sin x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2\cos 3x\left( {1 - \sin x} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\sin x = 1\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là \(\left\{ { - \dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right\}\)

Tổng các nghiệm bằng: 0

Ta có:

\(y = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\cos x - 3\sin x + 4}} \) \(\Leftrightarrow y\left( {\cos x - 3\sin x + 4} \right) = \sin x + 2\cos x + 1\)

\(\Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\cos x - \left( {3y + 1} \right)\sin x = 1 - 4y\)

Điều kiện có nghiệm: \({\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {3y + 1} \right)^2} \ge {\left( {1 - 4y} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {y^2} - 4y + 4 + 9{y^2} + 6y + 1 \ge 1 - 8y + 16{y^2}\)

\(\Leftrightarrow 6{y^2} - 10y - 4 \le 0 \) \(\Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le y \le 2\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{{ - 1}}{3}\)

Ta có: \(3{\sin ^2}x - 7\sin x\cos x - 10{\cos ^2}x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 10\sin x\cos x + 3\sin x\cos x - 10{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {3\sin x - 10\cos x} \right) + \cos x\left( {3\sin x - 10\cos x} \right) = 0 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {3\sin x - 10\cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\sin x = 10\cos x\\\sin x = - \cos x\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \dfrac{{10}}{3}\\\tan x = - 1\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{{10}}{3}} \right) + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+ Với \(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \Rightarrow \pi < \dfrac{\pi }{4} + k2\pi < 6\pi \) \( \Rightarrow \dfrac{3}{8} < k < \dfrac{{23}}{8} \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\to\) Có 2 nghiệm tương ứng.

+ Với \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \Rightarrow \pi < \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi < 6\pi \) \( \Rightarrow \dfrac{1}{8} < k < \dfrac{{21}}{8} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\to\) Có 2 nghiệm tương ứng.

Số có 1 chữ số nên có \(C_3^1 = 3\) cách chọn.

Số có 2 chữ số nên có \(P_3^2 = 6\) cách chọn.

Số có 3 chữ số nên có 3! cách chọn.

Số cách lập là: 3 + 6 + 3! = 15.

Ta có

\(\begin{array}{l}C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \dfrac{{7n}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}} = \dfrac{{7n}}{2}\\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = \dfrac{{7n}}{2}\\ \Leftrightarrow 2 + n - 1 + \dfrac{{{n^2} - 3n + 2}}{3} = 7\\ \Leftrightarrow {n^2} = 16\\ \Leftrightarrow n = 4(n > 0)\end{array}\)

Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng dọc thì có 3! cách xếp bạn nam và 3! cách xếp bạn nữ.

Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng dọc thì có 3! cách xếp bạn nữ và 3! cách xếp bạn nam.

Khi đó số cách xếp là: 2.(3!)² = 72 (cách xếp)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^{12}}\\ = C_{12}^0.{x^{12}} + C_{12}^1.{x^{11}}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^1} \\+ ... + C_{12}^6.{x^6}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^6} + ... + C_{12}^{12}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^{12}}\\ = C_{12}^0.{x^{12}} + C_{12}^1.{x^{10}}\left( { - 2} \right) \\+ ... + C_{12}^6.{\left( { - 2} \right)^6} + ... + C_{12}^{12}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^{12}}\end{array}\)

Số hạng không chứa x là: \(C_{12}^6{\left( { - 2} \right)^6} = 59136\)

Số cách chọn trong đó có 2 nữ là: \(C_6^2.C_7^2\)

Số cách chọn trong đó có 3 nữ là: \(C_6^3.C_7^1\)

Số cách chọn trong đó có 4 nữ là: \(C_6^4\)

Vậy số cách cần chọn là: \((C_7^2.C_6^2) + (C_7^1.C_6^3) + C_6^4\)

Coi cách chọn bạn nam A và bạn nữ B là 1 ghế, nên ta có 5 cách chọn.

Chọn thứ tự ngồi của 2 bạn là 2 cách.

Xếp 2 nam còn lại vào vị trí ta được 2! cách.

Xếp 2 nữ còn lại vào vị trí ta được 2! Cách.

Khi đó số cách xếp là: 5.2.(2!)² = 40 (cách xếp)

Ta có \({\left( {a - 2b} \right)^8} = C_8^0.{a^8} + C_8^1.{a^7}.\left( { - 2b} \right) + ... + C_8^8.{\left( { - 2b} \right)^8}\)

Hệ số của số hạng chứa a⁴.b⁴ là \(C_8^4{\left( { - 2} \right)^4} = 1120\)

Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là: \(\dfrac{1}{6}\)

Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{16}^3 = 560\)

Gọi A là: “lấy được 3 viên bi đỏ”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_3^3 = 1\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \dfrac{1}{{560}}\)

Một số gồm 3 chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số A={1; 2; 4; 5; 7} có dạng:

\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}}\), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,3}\) và \({a_i} \ne {a_j},i \ne j.\)

Do \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}}\) là số chẵn nên \({a_3} \in \left\{ {2;4} \right\}\) => Có 2 cách chọn.

Khi đó, \({a_2}\) => có \(C_4^1\) cách chọn.

\({a_1}\) => có \(C_3^1\) cách chọn.

Số cách chọn là \(2.C_4^1.C_3^1 = 24\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3A_n^2 - A_{2n}^2 + 42 = 0\\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \dfrac{{\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n - 2} \right)!}} + 42 = 0\\ \Leftrightarrow 3.n\left( {n - 1} \right) - 2n\left( {2n - 1} \right) + 42 = 0\\ \Leftrightarrow - {n^2} - n + 42 = 0\\ \Leftrightarrow n = 7(n > 0)\end{array}\)

Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^1 = 52.\)

Số cách rút để được lá át hay lá rô là \(n\left( A \right) = C_{17}^1 = 17.\)

Xác suất cần có là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{17}}{{52}}\)

Số cách chọn một bó hoa sao cho có đúng duy nhất một bông màu đỏ là

\(C_4^1.C_3^1.C_3^1 = 4.\)

Chọn lớp trưởng trong 35 học sinh ta có \(C_{35}^1 = 35\) cách chọn.

Chọn lớp phó trong 34 học sinh ta có \(C_{34}^1 = 34\) cách chọn.

Chọn bí thư tronh 33 học sinh ta có \(C_{33}^1 = 33\) cách chọn.

Vậy cô giáo có 35.34.33 = 39270 cách chọn.

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AB} }}\left( D \right) = C\)

\(A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 2 + 1 = - 1\\y' = 3 + 0 = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'\left( { - 1;3} \right)\)

Lấy \(M\left( {x;y} \right)\) bất kì thuộc \(\Delta \)

\(M' = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + 1\\y' = y - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - 1\\y = y' + 1\end{array} \right.\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' - 1\\y = y' + 1\end{array} \right.\) vào phương trình \(\Delta \) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {x' - 1} \right) + 2\left( {y' + 1} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x' + 2y' = 0\\ \Rightarrow M' \in \Delta ':x + 2y = 0\end{array}\)

\(A' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - y = - 2\\y' = x = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2;1} \right)\)

(C ) có tâm \(J\left( {1;2} \right)\) và bán kính R = 2

Gọi \(J' = {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( J \right) \Rightarrow \overrightarrow {IJ'} = 3\overrightarrow {IJ} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 2 = 3\left( {1 - 2} \right)\\y' + 2 = 3\left( {2 + 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 1\\y' = 10\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( { - 1;10} \right)\end{array}\)

Đường tròn (C’) có tâm \(J'\left( { - 1;10} \right)\) bán kính \(R' = 3R = 3.2 = 6\)

Vậy \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 36.\)