Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx}  = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).     

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^3}x\sin xdx} \)

Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}\). 

Cho $I = \int {\dfrac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1}  + 4}}}  = \sqrt {2{\rm{x}} - 1}  - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1}  + 4} \right)^n} + C$ ở đó \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị biểu thức \(S = \sin \dfrac{{n\pi }}{8}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

Cho các phát biểu sau: (Với $C$ là hằng số):

(I) \(\int\limits_{}^{} {0dx}  = x + C\)

(II) \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\)

(III) \(\int\limits_{}^{} {\sin xdx}  =  - \cos x + C\)

(IV) \(\int\limits_{}^{} {\cot xdx}  =  - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C\)

(V) \(\int\limits_{}^{} {{e^x}dx}  = {e^x} + C\)

(VI) \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne  - 1} \right)\)

Số phát biểu đúng là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - n = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 + t\\z = 3 + \left( {2m - 1} \right)t\end{array} \right.\). Với giá trị nào của \(m,{\rm{ }}n\) thì \(d\) song song \(\left( P \right)\)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây? 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}.\) Gọi \({D_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\) các đường \(x = 0,\,\,x = 1\) và trục \(Ox.\) Gọi \({D_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}f\left( x \right),\) các đường \(x = 0,\,\,\,x = 1\) và trục \(Ox.\) Quay các hình phẳng \({D_1},\,\,{D_2}\) quanh trục \(Ox\) ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1},\,\,{V_2}.\)

Khẳng định nào sau đâu là đúng?

Viết công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox?\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {m;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)\)  cùng phương thì \(2m + 3n\) bằng.

Véc tơ đơn vị trên trục \(Ox\) là:

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

Đổi biến \(x = 4\sin t\) của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) ta được:

Cho hai số phức \(z = 3 - 4i\) và \(z' = \left( {2 + m} \right) + mi\,\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\). Tổng tất cả các giá trị của m bằng

Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ? 

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

Công thức tính độ dài véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) là:

Hàm số \(F\left( x \right) = {x^5} + 5{x^3} - x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) và hai điểm \(M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).\) Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM+EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E.\)

Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?

Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng một parabol. Giá \(1{m^2}\) cửa sắt là \(660\,000\) đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là:  

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:

Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(z' = 2 + 3i\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), tính thể tích khối tứ diện \(OBCD\) biết \(B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)\).

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow b  = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là

Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là

Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right].\) Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,\,\left( a < b \right).\) Diện tích \(S\) của hình phẳng \(D\) được tính bởi công thức:

Cho hai điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)\), tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\)  là:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) là:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, \(f(x)>-1,\,f(0)=0\) và thỏa mãn \(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\). Tính \(f\left( \sqrt{3} \right)\).

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$. Hãy viết phương trình  mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(2\,;\,0;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;2),B(0; - 1;1)\)  và song song với đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{      }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là

Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?

Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z  = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$  quanh $Ox$ bằng :

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y =  - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục \(Oxy\) thì nó có đỉnh \(\left( {0;8} \right)\) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là \(\left( { - 4;0} \right)\). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.