ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

TXD: \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z} \right\}\)

Ta có tọa độ của điểm M' là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} - 0.\sin {90^0} = 0\\y' = 1.\sin {90^0} + 0.\cos {90^0} = 1\end{array} \right.\)

nên M'(0;1)

Chu kì tuần hoàn của hàm số y = cot x là \(T = \pi \)

Ta có \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\) nên C đúng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\2x = \pi - \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in Z\end{array}\)

Số cách chọn 1 chiếc bút là \(C_{10}^1 = 10\) cách

Số cách chọn 1 quyển sách là \(C_8^1 = 8\) cách

Vậy bạn đó có 10.8 = 80 cách chọn 1 chiếc bút và 1 quyển sách

Số các số thỏa mãn đề bài là \(A_4^4 = 24\) số

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {6^3} = 216\)

Gọi A là biến cố “mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần”

Suy ra \(n\left( A \right) = 1.1.1 = 1\)

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{1}{{216}}\)

Từ giả thiết ta có: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'A'} = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {M'A'} + \overrightarrow v = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {M'A'} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {A'M'} \end{array}\)

Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)

Nên trên đoạn \(\left[ { - \pi ;0} \right]\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \pi ;\dfrac{{ - \pi }}{2}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\)

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:x + y - 2 = 0\)

\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\) là ảnh của \(d\) qua \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = - 2x\\y' = - 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{x'}}{2}\\y = \dfrac{{ - y'}}{2}\end{array} \right. \\\Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - x'}}{2};\dfrac{{ - y'}}{2}} \right)\)

Thay tọa độ M vào phương trình đường thẳng d ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - x'}}{2} + \dfrac{{ - y'}}{2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x' + y' + 4 = 0\end{array}\)

Phương trình đường thẳng d':x + y + 4 = 0

Ta có \(N \in AB,\,N \in CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right)\\N \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SN.

Gieo con xúc sắc hai lần, \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 8”

Khi đó \(A = \left\{ {\left( {2;6} \right),\left( {3;5} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;3} \right),\left( {6;2} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 5\)

Xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{5}{{36}}\).

Đáp án A: \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 > 1\) nên dãy số tăng.

Đáp án B: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 5 - 2n + 5 = 2 > 0\) nên dãy số tăng.

Đáp án C: Dãy số - 3;9; - 27;81;... không tăng không giảm.

Đáp án D: 

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{1 - \left( {n + 1} \right)}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \dfrac{{1 - n}}{{3n + 2}}\\ = \dfrac{{ - n}}{{3n + 5}} - \dfrac{{1 - n}}{{3n + 2}}\\ = \dfrac{{ - 3{n^2} - 2n - 3n - 5 + 3{n^2} + 5n}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0\)

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.

Nếu a // \(\left( \alpha \right),\,b \subset \left( \alpha \right)\) thì a // b hoặc a chéo b.

Đáp án A: sai, ta vẽ được vô số đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước.

Đáp án B: sai, mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia chứ không phải song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia.

Đáp án C: sai, \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b.

Đáp án D: đúng.

Gọi K là giao điểm của A'C và AC'.

Tam giác A'B'C có HK là đường trung bình của tam giác nên HK // B'C.

Mà \(HK \subset \left( {AHC'} \right)\) nên B'C // (AHC').

Ta có:

\(\dfrac{{2n - 1}}{{5n + 3}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 3\left( {2n - 1} \right) = 5n + 3 \Leftrightarrow n = 6\)

Số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_9^k{x^{9 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{2x}}} \right)^k} = C_9^2.\dfrac{1}{{{2^k}}}.{x^{9 - 2k}}\).

Số hạng chứa \({x^3}\) ứng với \(9 - 2k = 3 \Leftrightarrow k = 3\).

Vậy số hạng chứa \({x^3}\) là \(C_9^3.\dfrac{1}{{{2^3}}}.{x^3} = \dfrac{1}{8}C_9^3{x^3}.\)

Đáp án B: Dễ thấy OO₁ // DF \(\subset\) (EFM) nên B đúng.

Đáp án C: \(O{O_1}//CE \subset \left( {BEC} \right)\) nên C đúng.

Đáp án D: \(O{O_1}//DF \subset \left( {AFD} \right)\) nên D đúng.

Ta có: \({u_2} = \dfrac{1}{2}{u_1} + 1 = \dfrac{1}{2}.\left( { - 3} \right) + 1 = - \dfrac{1}{2}.\)

\({u_3} = \dfrac{1}{2}{u_2} + 1 = \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 1 = \dfrac{3}{4}\)

\({u_4} = \dfrac{1}{2}{u_3} + 1 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{{11}}{8}.\)

Số hạng tổng quát: 

\(C_{14}^k.{\left( {3{x^2}} \right)^{14 - k}}.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^k}\\ = C_{14}^k{.3^{14 - k}}{x^{28 - 2k}}.\dfrac{1}{{{x^k}}}\\ = C_{14}^k{.3^{14 - k}}{x^{28 - 3k}}\)

Số hạng chứa x¹⁰ ứng với 28 - 3k = 10 ⇒ k = 6

Hệ số \(C_{14}^6{.3^8}\).

Chọn 5 viên bi trong hộp có \(C_{15}^5 = 3003\) cách chọn hay \(n\left( \Omega \right) = 3003\).

Gọi A là biến cố “5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi xanh bằng số bi vàng”

+ TH1: 1 xanh, 1 vàng và 3 đỏ, có \(C_6^1.C_5^1.C_4^3 = 120\) cách chọn.

+ TH2: 2 xanh, 2 vàng và 1 đỏ, có \(C_6^2.C_5^2.C_4^1 = 600\) cách chọn.

Do đó \(n\left( A \right) = 120 + 600 = 720\) cách chọn.

Xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{720}}{{3003}} = \dfrac{{240}}{{1001}}\).

Ta có: \({u_5} = \dfrac{{{5^2} + 3}}{{{{2.5}^2} - 1}} = \dfrac{4}{7}\).

Đáp án A :

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + \sin x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 3\left( {VN} \right)\\\sin x = 2\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Nên loại A.

Đáp án B :

\(\cos x = \dfrac{\pi }{2}\) vô nghiệm vì \(\dfrac{\pi }{2} > 1\), do đó loại B.

Đáp án C: \({\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\cot x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} = 0\) (vô nghiệm) nên loại C.

Đáp án D: \(2\cos 2x - \cos x - 3 = 0\Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - \cos x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x - \cos x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \dfrac{5}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi .\)

Ta có : 

\({\left( {1 - 2x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}} \)

Số hạng chứa x³ ứng với k = 3.

Suy ra hệ số cần tìm là : \(C_8^3.{\left( { - 2} \right)^3} = - 448.\)  

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\)

Gọi M'(x';y') là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k =  - 1\).

Khi đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).2\\y' =  - y + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x' + 4\\y =  - y' + 6\end{array} \right.\)  nên \(M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right)\)

Mà \(M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\) nên ta có :

 \(\begin{array}{l}3\left( { - x' + 4} \right) - \left( { - y' + 6} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3x' + 12 + y' - 6 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3x' + y' + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3x' - y' - 3 = 0\end{array}\)

Do đó, ảnh của đường thẳng \(d:3x - y - 3 = 0\) qua phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k =  - 1\) là đường thẳng \(d':3x - y - 3 = 0\)

Ta tìm ảnh của đường thẳng \(d'\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\)

Gọi \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in d':3x - y - 3 = 0\) và \(N'\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là ảnh của qua \({T_{\overrightarrow v }}\)

Khi đó ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 1\\{y_2} = {y_1} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} - 1\\{y_1} = {y_2} - 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\)

Thay tọa độ \(N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d':3x - y - 3 = 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{y_2} - 3} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_2} - {y_2} - 3 = 0\end{array}\)

Vậy ảnh của đường thẳng \(d'\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\) là đường thẳng \({d_1}:3x - y - 3 = 0.\)

Hay đường thẳng cần tìm là: \({d_1}:3x - y - 3 = 0.\)

TH1 : Đội tuyển gồm 1 học sinh khối 10 và 9 học sinh của 2 khối 11 và khối 12

Số cách chọn là : \(C_5^1.C_{10}^9 = 50\) cách

TH2 : Đội tuyển gồm 2 học sinh khối 10 và 8 học sinh của 2 khối 11 và khối 12

Số cách chọn là : \(C_5^2.C_{10}^8 = 450\) cách

Vậy có 450 + 50 = 500 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tập hợp các chữ số lẻ là \(M = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\)

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \,\left( {a;b \in M} \right)\)

Khi đó a có 5 cách chọn và b có 5 cách chọn nên có 5.5 = 25 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có : sin x = cos 2x

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \(x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}} \right\}\)

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ta có tập giá trị của hàm số \(y = \cos \left( {2019x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) là \(\left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có : \({\left( {1 + x} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{x^k}}\)

Thay x = 1 ta có :

\(\begin{array}{l}{2^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{2018}\\ \Rightarrow C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} = {2^{2019}} - C_{2019}^0 - C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} - 2\end{array}\)

Đường tròn (C) có tâm I(0;1)

Ảnh của I(0;1) qua tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \left( {3; - 2} \right)\) là I'(x';y') là tâm của đường tròn (C')

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + 3 = 3\\y' = 1 + \left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3; - 1} \right)\)

Ta có :  

\(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}\cos + \sin \dfrac{\pi }{3}\sin x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \)

TH1 : d = 0 thì

a có 5 cách chọn

b  có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Suy ra có 1.5.4.3 = 60 số chẵn có chữ số tận cùng là 0.

TH2 : \(d \in \left\{ {2;4} \right\}\) thì d có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Suy ra có 2.4.4.3 = 96 số

Vậy lập được tất cả 96 + 60 = 156 số thỏa mãn đề bài.

Hàm số y = tan x xác định khi \(\cos x \ne 0\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

Nên TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x\cos 2x\) có TXĐ : D = R

Nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)

Lại có \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right).\cos \left[ {2\left( { - x} \right)} \right] = - 2x\cos \left( { - 2x} \right) = - 2x\cos 2x = - f\left( x \right)\)

Nên hàm số y = 2xcos 2x là hàm số lẻ.

Hàm số y = sin x nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Khằng định : Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau là sai vì chúng có thể song song với nhau.