Gọi số có 3 chữ số là \(\overline {abc} \). Ta chọn a trước.

Có 6 cách chọn a, do \(a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Có 7 cách chọn b, do \(b \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Có 7 cách chọn c, do \(c \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Theo quy tắc nhân: Có 6.7.7=294 cách chọn

Phép đồng dạng tỉ số 3 biến M, N lần lượt thành M’, N’ thì \(MN = 3M'N'\)

\(\cos x = \cos \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nên tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \alpha \) là \(x =  \pm \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có \(\sin 2x - 2\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - 2\cos x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \), nếu \(a = 0\) thì số này có 3 chữ số, nếu \(a \ne 0\) thì số có 4 chữ số.

Có \(A_4^3\) cách xếp vị trí của 2, 3, 4 vào 4 vị trí trên. Vị trí còn lại có 7 cách chọn là 0;1;5;6;7;8;9. Theo quy tắc nhân, ta có \(A_4^3.7 = 168\) số tự nhiên thỏa mãn bài toán.

Phương trình \(\sqrt 2 \sin x + \left( {2m + 1} \right)\cos x = \sqrt 3 \) có nghiệm \( \Leftrightarrow 3 \le 2 + {\left( {2m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 1\end{array} \right.\)

Có 3+2+5=10 tiết mục nên có 10 cách chọn 1 tiết mục.

Điều kiện: \(1 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow  - 3 \le 3\cos x \le 3\\ \Leftrightarrow  - 4 \le y \le 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \min y =  - 4;\max y = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5^\circ  + k.90^\circ ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\cot \left( {2x + 10^\circ } \right) = \cot 60^\circ \\ \Leftrightarrow 2x + 10^\circ  = 60^\circ  + k.180^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = 25^\circ  + k.90^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos 3x =  - 1 \Leftrightarrow 3x = \pi  + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

\(\tan x + \cot x - 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\tan x - 1} \right)}^2}}}{{\tan x}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{4} + k\pi  < \pi \\ \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4} < k < \dfrac{3}{4} \Rightarrow k = 0\end{array}\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm trong \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\)

Phép vi tự tỉ số \(k\left( {k \ne 0} \right)\) biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} ;M'N' = \left| k \right|MN\).

Có 8 cách chọn 1 nam và 6 cách chọn 1 nữ. Theo quy tắc nhân ta có 48 cách phân công đội tình nguyện gồm 1 nam và một nữ.

\(\sin 2x + \cos 2x =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Một cặp sắp thứ tự gồm 2 điểm \(\left( {A,B} \right)\) cho ta một vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập 20 phần tử đã cho.

Số vectơ cần tìm là: \(A_{20}^2 = 380\)

Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Điều kiện xác định của \(\tan x\) là :

\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \) \(x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Rightarrow \)TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

\(\sin x = 2m - 3\) có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 \le 2m - 3 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\) hay m có 2 giá trị.

Có 6 con đường đi từ A đến B, 4 con đường từ B đến C nên có 6.4=24 con đường từ A đến C. Có 4 con đường từ C đến B.

Vậy có 24.4=96 con đường thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + 4\\y' = y + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - 4\\y = y' - 6\end{array} \right.\). Thay vào phương trình của d ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {x' - 4} \right) + \left( {y' - 6} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x' + y' - 9 = 0\end{array}\)

Vậy \(d':x + y - 9 = 0\)

Giả sử M là ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số \( - \dfrac{1}{2}\). Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) = M \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  =  - 2\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 2{x_M} = 2\\{y_A} =  - 2{y_M} =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2; - 6} \right)\end{array}\)

Phép dời hình biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành \(A'\) và biến điểm \(B\left( {0;3} \right)\) thành \(B'\). Khi đó độ dài \(A'B' = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \).

\(\cos x = a\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left| a \right| > 1\)

Ta có: \(\sqrt 3  > 1 \Rightarrow \cos x = \sqrt 3 \) vô nghiệm.

Có 2 phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn học sinh nam, có 8 cách. Phương án thứ hai là chọn học sinh nữ, có 4 cách chọn. Vậy có 12 cách chọn tổ trưởng.

Phép quay \({Q_{\left( {O;90^\circ } \right)}}\left( {M\left( {x;y} \right)} \right) = M'\left( { - y;x} \right)\forall x,y\)

Vậy: \({Q_{\left( {O;90^\circ } \right)}}\left[ {A\left( {0;5} \right)} \right] = A'\left( { - 5;0} \right)\)

\(2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 2x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6} - 2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phép quay biến hình vuông thành chính nó khi và chỉ khi phép quay biến đỉnh thành đỉnh.

Giả sử hình vuông đó là ABCD với vị trí các điểm A, B, C, D như hình sau:

Phép quay tâm O biến ABCD thành ABCD là  \({Q_{\left( {O,2\pi } \right)}}\).

Phép quay tâm O biến ABCD thành BCDA là \({Q_{\left( {O;\frac{\pi }{2}} \right)}}\)

Phép quay tâm O biến ABCD thành CDAB là \({Q_{\left( {O,\pi } \right)}}\)

Phép quay tâm O biến ABCD thành DABC là \({Q_{\left( {O,\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}\)

Vì hình vuông đề cho không phân biệt thứ tự các điểm nên có tất cả 4 phép quay biến hình vuông thành chính nó.

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Số cách chọn 3 bạn bất kì là: \(C_{50}^3\) cách.

Số cách chọn 3 bạn nữ là; \(C_{20}^3\) cách.

Vậy số cách chọn 3 bạn trong đó có ít nhất 1 bạn nam là: \(C_{50}^3 - C_{20}^3\) cách.

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 1 \le \sin 2x \le 1\\ \Leftrightarrow  - 3 \le 3\sin 2x \le 3\\ \Leftrightarrow  - 5 \le 3\sin 2x - 2 \le 1\\ \Leftrightarrow  - 5 \le y \le 1\end{array}\)

Vậy GTNN của hàm số bằng \( - 5\).

Chọn D.

Ta có: \({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} .\)

Chọn B.

Ta có: \(\cos x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \dfrac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn A.

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right) = {V_{\left( {O; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OM'}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - {x_O} =  - \dfrac{1}{2}\left( {{x_M} - {x_O}} \right)\\y' - {y_O} =  - \dfrac{1}{2}\left( {{y_M} - {y_O}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - 1} \right)\\y' =  - \dfrac{1}{2}.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = \dfrac{1}{2}\\y' =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(M'\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Chọn C.

Hàm số \(y = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) xác định \( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \).

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn C.

Ta có: \({\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

Cho \( - \pi  < x < 0 \Leftrightarrow  - \pi  < \dfrac{\pi }{2} + k\pi  < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{2} < k <  - \dfrac{1}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \pi  + k2\pi \).

Cho \( - \pi  < \pi  + k2\pi  < 0 \Leftrightarrow  - 1 < k <  - \dfrac{1}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \emptyset \).

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm thỏa mãn là \(x =  - \dfrac{\pi }{2}\).

Chọn C.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x =  - \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in } \right)\end{array}\).

Chọn A.

Xét \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) có:

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\) ta có \(M = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\M \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SM\).

Chọn A.

Ta có: \({T_{\overrightarrow u }}\left( M \right) = M' \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 1 + \left( { - 3} \right) =  - 2\\{y_{M'}} =  - 2 + \left( { - 3} \right) =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy \(M'\left( { - 2; - 5} \right)\).

Chọn D.