Ta có: \(y = \sin 3x.\cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\)

Hàm số \(y = \sin 4x\) tuần hoàn với chu kì \({T_1} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\)

Hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi\)

Vậy hàm số \(y = \frac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = BCNN\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) = \pi\)

Ta có:

\(y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1 \) \(= {\sin ^4}x - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 1\)

\(= {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x - 1 \) \(= {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2\)

\(\begin{array}{l} 0 \le {\sin ^2}x \le 1\\ \Rightarrow 1 \le {\sin ^2}x + 1 \le 2\\ \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} \le 4\\ \Rightarrow - 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2 \le 2 \end{array}\)

\(\Rightarrow - 1 \le y \le 2\)

Điều kiện xác định: \(1 - \cos 2017x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2017x \le 1\) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy TXĐ: D=R.

Chu kì của hàm số \(y = \cot 3x + \tan x\) là \(T = \pi\)

Hàm số \(y = \left| x \right|\sin x\) có:

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|\sin \left( { - x} \right)\\ = - \left| x \right|\sin x = - y\left( x \right)\end{array}\)

Nên là hàm số lẻ.

Do đó đồ thị hàm số nhận gốc O làm tâm đối xứng.

Ta có:

\(\sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \sqrt 3\Leftrightarrow \tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \tan {60^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow 3x - {15^ \circ } = {60^ \circ } + k{180^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow x = {25^ \circ } + k{60^ \circ }\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \pm k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\cot ^2}x - 3\cot x = 0\\ \Leftrightarrow \cot x\left( {\sqrt 3 \cot x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cot x = 0\\ \cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm âm lớn nhất là \(- \dfrac{\pi }{2}\)

Ta có: \(\sin x + \cos x - 1 = 2\sin x\cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0\\ 1 - \sin x - \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - \cos x\\ \sin x + \cos x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Các nghiệm trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là \(\left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4};0;2\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right\}\)

Ta có: \(\sin (x + {10^0}) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x + {10^0}) = \sin {30^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {10^ \circ } = {30^ \circ } + k{360^ \circ }\\x + {10^ \circ } = {150^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {20^ \circ } + k{360^ \circ }\\x = {140^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right.\)

\({0^0} < x < {180^0}\) \( \Rightarrow {x_1} = {20^0},{x_2} = {140^0}\)

Một số gồm 3 chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số A={0; 2; 4; 6; 8} có dạng:

\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,3} , {a_i} \ne {a_j},i \ne j.\)

Do \({a_1} \ne 0\)- có \(C_4^1 = 4\) cách chọn.

Khi đó 2 số \({a_{1,}}{a_2}\) được lấy từ 4 số còn lai sắp theo thứ tự nên có \(A_4^2 = 12\) cách.

Số cách chọn là 4.12 = 48

Ta có

\(\begin{array}{l}C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 \\\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 8} \right)!}}{{\left( {n + 3} \right)!.5!}} = 5.\dfrac{{\left( {n + 6} \right)!}}{{\left( {n + 3} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \left( {n + 7} \right)\left( {n + 8} \right) = 5!.5\\ \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \\\Leftrightarrow n = 17(n > 0)\end{array}\)

Số phần tử của không gian mẫu là: \(\left| \Omega \right| = {2^4} = 16\)

Gọi A là biến cố: “cả 4 lần đều xuất hiện mặt sấp”

Ta có: \({P_A} = \dfrac{1}{{16}}\)

 Số cách sắp xếp của A, F: 2! = 2

Coi A và F được sắp xếp cùng 1 chỗ.

Số cách sắp xếp A, B, C, D, E: 5! = 120

Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2.120 = 240

Số hạng thứ 5 \(C_7^3{\left( {{a^2}} \right)^3}.{\left( {\dfrac{1}{b}} \right)^4} = 35{a^6}.{b^{ - 4}}\)

Số cách chọn 2 học sinh từ nhóm n học sinh là:

\(C_n^1.C_n^2.C_n^3\)\( = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}}.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}.\dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} \)\(= \dfrac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\)

Theo bài ra ta có 120 cách lựa chọn nên:

\(\dfrac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 120\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 720\)

Ta có \(P(A) + P(B) = \dfrac{1}{{12}}\, \ne P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}\)

Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3 = 120\)

Gọi A là: “3 quả cầu toàn màu xanh”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_4^3 = 4\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \dfrac{4}{{120}} = \dfrac{1}{{30}}\)

Có \(C_{13}^6 = 1716\) cách chọn để không có cuốn sách toán nào.

Có \(C_{12}^6 = 924\) cách chọn để không có cuốn sách văn nào.

Có \(C_{11}^6 = 462\) cách chọn để không có cuốn sách anh nào.

Do 6 học sinh là khác nhau nên có 6! cách tặng.

Vậy có 6!.(1716 + 924 + 462) = 2233440.

Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_8^3 = 56\)

Gọi A là: “3 người được chọn có ít nhất 1 nữ”.

Gọi \(\overline A\)  là: “3 người được chọn không có nữ”. Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = C_5^3 = 10\)

Suy ra \(n\left( A \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 56 - 10 = 46\)

Một số gồm 4 chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có dạng:

\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,4} \) và \({a_i} \ne {a_j},i \ne j.\)

Do \({a_1} \ne 0\)- có \(C_6^1 = 6\) cách chọn.

Khi đó 2 số \({a_2},{a_3},{a_4}\) được lấy từ 6 số còn lai sắp theo thứ tự nên có \(A_6^3 = 120\) cách.

Số cách chọn là 6.120 = 720

TH1: có 1 nữ và 2 nam, số cách chọn là: \(C_{26}^1.C_{20}^2 = 4940\)

TH2: có 2 nữ và 1 nam, số cách chọn là: \(C_{26}^2.C_{20}^1 = 6500\)

Vậy có cách chọn thỏa mãn. 4940 + 6500 = 11440

Gọi \({T_{\vec v}}\left( M \right) = {M_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_2}} = \vec v\)

Từ \(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {PQ} \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ} = \vec v\)

\({T_{\vec v}}\left( A \right) = B \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \vec v \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = 1 + 1 = 2}\\{{y_B} = 2 + 3 = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {2;5} \right)\)

Khẳng định C sai vì khi d cắt a mà d vuông góc a thì d trùng d'.

Gọi \(M'(x';y')\) là ảnh của M qua Đ_Ox

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = - 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1; - 5} \right)\)

Phép đối xứng tâm có đúng 1 điểm biến thành chính nó. Điểm đó là tâm đối xứng.

Có 3 phép quay tâm O góc \(\alpha ,0 < \alpha \le 2\pi \) biến tam giác đều tâm O thành chính nó .

Đó là các phép quay với góc quay lần lượt bằng: \(\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3},2\pi \)

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đường thẳng ở đáp án C song song với đường thẳng d đã cho.

Hai đường tròn đồng tâm I, có vô số phép vị tự tâm I tỉ số \(k \ne \pm 1\)  biến đường tròn này thành đường tròn kia.