\({u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3.3^n}.\)

\({u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 26\, = \frac{1}{3} + 7d \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} 2 + 6 = 2a\\ a + b = 2.6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 8 \end{array} \right. \Rightarrow ab = 32.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_4} = 2\\ {u_2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = 2\\ {u_1} + d = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ d = - 1 \end{array} \right.\)

Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 2 - 3n + 2 = 3\)

Suy ra d = 3 là công sai của cấp số cộng.

Ta có \(S = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{3^n}}} + \cdot \cdot \cdot \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\) có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\), công sai \(q = \frac{1}{3}\).

Do đó \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\).

\({u_{99}} = {u_1} + 98d = 11 + 98.4 = 403\)

Dãy số ở đáp án A thỏa \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\) với mọi \(n \ge 1\) nên là cấp số cộng.

\(\begin{array}{l} {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\\ \Leftrightarrow n = 8 \end{array}\)

\({u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5\)

\({u_2} = {u_1}.q = - 6\)

\({u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}} = 51,3\)

Ta có \({u_2} = {u_1} + 1 = 5\); \({u_3} = {u_2} + 2 = 7\); \({u_4} = {u_3} + 3 = 10\). Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là \({u_5} = {u_4} + 4 = 14\).

\(\forall n \in {N^*}\) ta có: \({n^2} < {\left( {n + 1} \right)^2}\) nên A sai; \(2n < 2\left( {n + 1} \right)\) nên B sai; \({n^3} - 1 < {\left( {n + 1} \right)^3} - 1\) nên C sai.

Với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n - 1}}\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n - 1} \right).n}} < 0\) nên dãy \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n - 1}}\) giảm.

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right)}}{2} = 253\)

\( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 11\\ n = - \frac{{23}}{2}\left( L \right) \end{array} \right.\)

\({u_6} = {u_1}{q^5} = 5.{\left( { - 2} \right)^5} = - 160\)

\(\begin{array}{l} x = \frac{{5 + 15}}{2} = 10 \Rightarrow y = 20\\ \Rightarrow 3x + 2y = 70 \end{array}\)

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai d.

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_7} = 77\\ {S_{12}} = 192 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7{u_1} + \frac{{7.6.d}}{2} = 77\\ 12{u_1} + \frac{{12.11.d}}{2} = 192 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7{u_1} + 21d = 77\\ 12{u_1} + 66d = 192 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Khi đó: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + 2\left( {n - 1} \right) = 3 + 2n\).

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \\\Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}}\\ \Leftrightarrow n - 1 = 10 \\\Leftrightarrow n = 11\)

2x - 3; x; 2x + 3 lập thành cấp số nhân

\( \Leftrightarrow {x^2} = \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 4{x^2} - 9 \Leftrightarrow {x^2} = 3\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \)

⇒ \(x = \sqrt 3 \)

Ta có \({S_{100}} = 24850 \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = 24850 \Leftrightarrow {u_{100}} = 496\).

Vậy \({u_{100}} = {u_1} + 99d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_{100}} - {u_1}}}{{99}} \Leftrightarrow d = 5\).

\(\begin{array}{l} S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\\ = \frac{1}{{1.6}} + \frac{1}{{6.11}} + \frac{1}{{11.16}} + ... + \frac{1}{{241.246}}\\ \Rightarrow 5S = \frac{5}{{1.6}} + \frac{5}{{6.11}} + \frac{5}{{11.16}} + ... + \frac{5}{{241.246}}\\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{241}} - \frac{1}{{246}}\\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{{246}} = \frac{{245}}{{246}} \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}} \end{array}\)

.

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (u_n) với công bội q = 2.

Ta có:

\({u_6} = 64000 \Rightarrow {u_1}.{q^5} = 64000 \Rightarrow {u_1} = 2000\)

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u_n+1.

\({u_{n + 1}} = 2048000 \Rightarrow {u_1}.{q^n} = 2048000 \Rightarrow {2000.2^n} = 2048000 \Rightarrow n = 10\)

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}\)

Suy ra \({S_{12}} = 12{u_1} + \frac{{12.11.d}}{2} = 6\left( {2{u_1} + 11d} \right) \ne \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right)\).

Đặt \(\tan \alpha = 2\). Ta có \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt 2 - 1\). Suy ra \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{8}.{u_n}}}\)

Có \(u_2= \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{8}.\tan {u_n}}} = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{8}} \right)\).

Bằng quy nạp, ta chứng minh được \(u_n= \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{8}.\tan {u_n}}} = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{8}} \right)\).

Vậy \({u_{2018}} = \tan \left( {\alpha + \frac{{2017\pi }}{8}} \right) = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{8}}} = 7 + 5\sqrt 2 \).

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} = n\), suy ra v_n là một câp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\) và công sai d = 1.

Xét tổng \({S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}}\).

Ta có

\({S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}} = \frac{{217.\left( {{v_1} + {v_{217}}} \right)}}{2} = \frac{{217.\left( {1 + 217} \right)}}{2} = 23653\)

Mà \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) suy ra 

\({S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{218}} - {u_{217}}} \right) = {u_{218}} - {u_1}\)

\( \Rightarrow {u_{218}} = {S_{217}} + {u_1} = 23653\)

\({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {a_n} - \frac{1}{9} = 10\left( {{a_{n - 1}} - \frac{1}{9}} \right)\,\,(1)\)

Đặt \( {b_n} = {a_n} - \frac{1}{9} \Rightarrow {b_1} = {a_1} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\). Từ \((1) \Rightarrow {b_n} = 10{b_{n - 1}},\forall n \ge 2\)

Dãy \((1) \Rightarrow {b_n} = 10{b_{n - 1}},\forall n \ge 2\) là cấp số nhân với công bội là q = 10. Nên \({b_n} = {b_1}.{q^{n - 1}} = \frac{8}{9}{.10^{n - 1}}\).

Do đó \({a_n} = {b_n} + \frac{1}{9} = \frac{8}{9}{10^{n - 1}} + \frac{1}{9},\forall n = 1,2,...\).

Ta có \(\log {a_n} > 100 \Leftrightarrow {a^n} > {10^{100}} \Leftrightarrow \frac{8}{9}{10^{n - 1}} + \frac{1}{9} > {10^{100}}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của n để \(\log {a_n} > 100\) là n = 102.

Ta có \({S_{2018}} = \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)\), \({S_{1009}} = \frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right) = 4.\frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\frac{d}{2},\frac{{3d}}{2},\frac{{5d}}{2},...\)

Ta có \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}} = \log _3^2\frac{{3d}}{2} + \log _3^2\frac{{9d}}{2} + \log _3^2\frac{{27d}}{2}\)

\(= {\left( {1 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {3 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2}\)

Đặt \({\log _3}\frac{d}{2} = x\) thì

\(\begin{array}{l} P = {\left( {1 + x} \right)^2} + {\left( {2 + x} \right)^2} + {\left( {3 + x} \right)^2}\\ = 3{x^2} + 12x + 14\\ = 3{\left( {x + 2} \right)^2} + 2 \ge 2 \end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = - 2 \Leftrightarrow d = \frac{2}{9}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2.

Ta có \({u_n} = {{\rm{e}}^{{v_n}}}\), với \({v_n} = {3.2^{n - 1}},n \in {N^*}\)

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_k} = 3.\frac{{{2^k} - 1}}{{2 - 1}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)\)

\({u_1}.{u_2}...{u_k} = {{\rm{e}}^{{v_1} + {v_2} + ... + {v_k}}}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l} 3\left( {{2^k} - 1} \right) = 765\\ \Leftrightarrow {2^k} - 1 = 255\\ \Leftrightarrow {2^k} = 256\\ \Leftrightarrow k = 8 \end{array}\)

Vì -25, 2a, 3b là cấp số cộng nên \( - 25 + 3b = 4a \Rightarrow 3b - 9 = 4a + 16\).

Vì 2, a + 2, b - 3 là cấp số nhân nên \(2\left( {b - 3} \right) = {\left( {a + 2} \right)^2}\).

Suy ra

\(\begin{array}{l} 2\frac{{\left( {4a + 16} \right)}}{3} = {\left( {a + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow 2\left( {4a + 16} \right) = 3{\left( {a + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow 3{a^2} + 4a - 20 = 0 \end{array}\)

Vì a > 0 nên a = 0 suy  ra  b = 11.

Vậy \({a^2} + {b^2} - 3ab = 4 + 121 - 66 = 59\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_2} = {u_1} + {1^3}\\ {u_3} = {u_2} + {2^3}\\ .................\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3} \end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3}\)

Ta lại có \({1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3} = {\left( {1 + 2 + 3 + ... + n - 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

Suy ra \({u_n} = 1 + {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

Theo giả thiết ta có

\(\sqrt {{u_n} - 1} \ge 2039190 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \ge 2039190\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) \ge 4078380 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n \ge 2020\\ n \le - 2019 \end{array} \right.\)

Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.