Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho cấp số cộng (un) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}}\) bằng
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có \({S_{2018}} = \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)\), \({S_{1009}} = \frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)
\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right) = 4.\frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2\left( {2{u_1} + 1008d} \right) \Leftrightarrow {u_1} = \frac{d}{2}\)
Dãy số (un): \(\frac{d}{2}\), \(\frac{{3d}}{2}\), \(\frac{{5d}}{2}\), ...
Ta có \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}}\)
\( = \log _3^2\frac{{3d}}{2} + \log _3^2\frac{{9d}}{2} + \log _3^2\frac{{27d}}{2}\)
\( = {\left( {1 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {3 + {{\log }_3}\frac{d}{2}} \right)^2}\)
Đặt \({\log _3}\frac{d}{2} = x\) thì
\(\begin{array}{l} P = {\left( {1 + x} \right)^2} + {\left( {2 + x} \right)^2} + {\left( {3 + x} \right)^2}\\ = 3{x^2} + 12x + 14\\ = 3{\left( {x + 2} \right)^2} + 2 \ge 2 \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x = - 2 \Leftrightarrow d = \frac{2}{9}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
Giá trị của \(\lim \frac{\cos n+\sin n}{n^{2}+1}\) bằng:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Góc giữa AC và \(D{A_1}\) là
Cho ba vectơ\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Tìm giới hạn \(C=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+x+1}-2 x\right)\)
Cho \(\overrightarrow a = 3{,^{}}\overrightarrow b = 5\) góc giữa \(\vec a\) và \(\vec b\) bằng 120o. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định C và D là?
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với (n = k ) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:
\(\text { Tính giới hạn } L=\lim \frac{\sqrt[3]{n}+1}{\sqrt[3]{n+8}} \text { . }\)
