M là vị trí của vân sáng bậc 11 của bức xạ \({\lambda _1}\) ; N là vị trí vân sáng bậc 13 của bức xạ \({\lambda _2}\)

- Xét trên đoạn OM (Không xét vân trung tâm):

+ Số vân sáng của bức xạ \({\lambda _1}\) là: \({N_1} = 11\)

+ Số vân sáng của bức xạ \({\lambda _2}\) bằng số giá trị k nguyên thỏa mãn:

\({x_{s2}} \le {x_M} \Leftrightarrow \frac{{{k_2}{\lambda _2}D}}{a} \le \frac{{11{\lambda _1}D}}{a} \\\Leftrightarrow {k_2} \le \frac{{11{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = 7,3 \\\Rightarrow {k_2} = 1;2;3;4;5;6;7 \Rightarrow {N_2} = 7\)

+ Số vân trùng nhau của hai bức xạ:

\({k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{9}{6}\\ \Rightarrow {N_T} = 3\)

Vậy có 3 vị trí trùng nhau.

Số vân sáng quan sát được trên đoạn OM là: \(N = {N_1} + {N_2} - {N_T} = 11 + 7 - 3 = 15\)

- Xét trên đoạn ON (Không xét vân trung tâm):

+ Số vân sáng của bức xạ \({\lambda _2}\)  là: \({N_2} = 13\)

+ Số vân sáng của bức xạ \({\lambda _1}\) bằng số giá trị k nguyên thỏa mãn:

\({x_{s1}} \le {x_N} \Leftrightarrow \frac{{{k_1}{\lambda _1}D}}{a} \le \frac{{13{\lambda _2}D}}{a} \\\Leftrightarrow {k_1} \le \frac{{13{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = 19,5 \\\Rightarrow {k_2} = 1;2;3;...;19 \Rightarrow {N_1} = 19\)

+ Số vân trùng nhau của hai bức xạ:

\({k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \\\Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{{12}}{8} \\= \frac{{15}}{{10}} = \frac{{18}}{{12}} \Rightarrow {N_T} = 6\)

Vậy có 3 vị trí trùng nhau.

Số vân sáng quan sát được trên đoạn OM là:\(N' = {N_1} + {N_2} - {N_T} = 19 + 13 - 6 = 26\)

- Tại O có 1 vân sáng là vân sáng trung tâm: \({N_O} = 1\)

Vậy số vân sáng quan sát được trên đoạn MN là: \({N_{MN}} = N + N' + {N_O} = 15 + 26 + 1 = 42\)

Chọn C.