Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\mx + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 3\) khi \(m\) bằng:

Cho đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hãy chọn mệnh đề đúng.

Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2} + 5}}\) có đạo hàm bằng: 

Hàm số \(y = \tan x - \cot x + \cos \dfrac{x}{5}\) có đạo hàm bằng: 

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng: 

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại \(x = 1\) ? 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}}\) bằng: 

Tính \(\lim \dfrac{{8{n^2} + 3n - 1}}{{4 + 5n + 2{n^2}}}\). 

Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{2} + \dfrac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x}  + {a^2}\) (a là hằng số) bằng: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} }}{{2x + 3}}\) bằng: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a,\,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\)  là hình thang vuông có chiều cao \(AB = a\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và có đáy là hình thoi tâm \(O\). Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là góc giữa cặp đường thẳng nào? 

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)? 

Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) và \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Hỏi tứ diện \(ABCD\) có bao nhiêu mặt là tam giác vuông ? 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Khi đó, \(BC\) vuông góc với đường thẳng nào sau đây? 

Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành hình lăng trụ tứ giác đều? 

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), góc giữa đường thẳng \(A'C'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng: 

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \). Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)\). 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 2x}}{{\sin 3x}}\) bằng: 

Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp 2 là \(6x\). 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) - {\cos ^2}x\) với \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Nếu \(y' = 1\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(f\left( x \right)\) là: 

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} - 2x\,\,khi\,\,x \ge 2\\{x^3} + 3x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\). 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - {{\cos }^2}3x}}{{2{x^2}}}\) bằng giá trị nào sau đây? 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right)\). Giá trị lớn nhất của \(f'\left( x \right)\) bằng: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), biết \(SA = a\sqrt 3 ,\,\,AB = a\), \(AD = a\sqrt 6 \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 4}}{{{x^2} + x - 2}}\) có đạo hàm là: 

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^5} - 30{\left( {x + 1} \right)^3} + 5\). Số nghiệm âm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) là: 

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 6x - 8}}{{{x^2} - 4}}\) bằng:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3}} \right)\dfrac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\) bằng: 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\,\,AB = BC = a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính \(SA\) . 

Hàm số \(y = \sqrt {2x + 1} \) có đạo hàm là: 

\(\lim \left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]\) bằng: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) và \(SA = SC,\,\,SB = SD\). Mệnh đề nào sau đây sai? 

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 2019\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\). 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 1\) và \(f'\left( {{x_0}} \right) = \sqrt 2 \). Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt 2 .f\left( x \right) + 1009{x^2}\) tại điểm \({x_0} = 1\) bằng: 

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 5\). Tính \(f'\left( 2 \right)\). 

Tính \(\lim \dfrac{{{2^n}{{.3}^n} - {{3.3}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) ta được: 

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\). Tính \(y''\left( 0 \right)\).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là: 

Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{1 - 4x}}\) bằng: 

Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\). Góc giữa \(AF\) và \(EG\) bằng: 

Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}},\,\,x \ne 3\\4x - 2m\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 3\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)? 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc nào sau đây? 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {q^n} = 0\) nếu:

Nếu \(\lim {u_n} =  + \infty \) và \(\lim {v_n} = a > 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) bằng: 

Xét 2 mệnh đề sau:

(I): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm đó.

(II): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm đó.

(III): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = {x_0}\) thì chắc chắn \(y = f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm đó.

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Khi đó: