Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiXét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).
A. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\)
B. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{3}\)
C. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{9}\)
D. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{9}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
ĐK: \(\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} > 0 \Rightarrow y < 1\,\left( {x;y > 0} \right)\)
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\
\Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = x + 3xy + 3\left( {y - 1} \right) - 1\\
\Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\frac{{\left( {x + 3xy} \right)}}{3} + \left( {x + 3xy} \right)\left( * \right)
\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0;\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Kết hợp (*) suy ra \(f\left( {1 - y} \right) = f\left( {\frac{{x + 3xy}}{3}} \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y\)
\( \Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0(**)\)
Xét \(P = x + y \Rightarrow x = P - y\) thay vào (**) ta được
\(P - y + 3\left( {P - y} \right)y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P(3y + 1) = 3{y^2} - 2y + 3\)
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(g\left( y \right) = \frac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) trên (0;1)
Ta có \(g'\left( y \right) = \frac{{\left( {6y - 2} \right)\left( {3y + 1} \right) - 3\left( {3{y^2} - 2y + 3} \right)}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}} = \frac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}}\)
Giải phương trình \(g'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0;1} \right)\\
y = \frac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.\)
Lại có \(g'\left( y \right) < 0\,\forall y \in \left( {0;\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(g'\left( y \right) > 0\,\forall y \in \left( {\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right)\)
Hay \(g'(y)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(y = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}\) nên
\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( y \right) = g\left( {\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 3\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx = 2\) . Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx\)
Cho số phức \(z=10-2i\) . Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \) là
Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:
Cho cấp số cộng \((u_n)\), biết \({u_1} = - 5,d = 2\). Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\) là
Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1\). Khi đó tổng \(x_1+x_2\) bằng
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) trên tập số thực R và đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ. Khi đó, đồ thị của hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có
.png)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x}}\) là
Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - xy + 3 = 0\\
2x + 3y - 14 \le 0
\end{array} \right.\). Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\)?
Cho hai hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị (C) và \(y = m{x^2} + nx + p\left( {m,n,p \in R} \right)\) có đồ thị (P) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.png)
