Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khoảng cách giữa AB và B’C là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa BC và AB’ là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa AC và BD’ là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
A. \(4a^3\)
B. \(3a^3\)
C. \(5a^3\)
D. \(2^3\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.png)
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A
Dễ thấy \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(AB \bot BE\)
Lại có \(BE \bot B'C\) nên \(d\left( {AB,B'C} \right) = BE = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Tương tự có \(d\left( {BC,AB'} \right) = BF = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{1}{{B{F^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{B'{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{B'{B^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}} \Leftrightarrow BC = BA\) hay ABCD là hình vuông
Suy ra \(BD \bot AC\). Lại có \(AC \bot DD'\) nên \(AC \bot \left( {BDD'} \right)\)
Gọi \(M = AC \cap BD,O\) là tâm hình hộp và H là hình chiếu của M lên BD '
Khi đó \(AC \bot MH\) và \(MH \bot BD'\) nên \(d\left( {AC,BD'} \right) = MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Đặt \(BA = BC = x,BB' = y\) ta có:
Tam giác BB 'C vuông nên \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\left( 1 \right)\)
Tam giác BMO vuông nên \(\frac{1}{{M{B^2}}} + \frac{1}{{M{O^2}}} = \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}.\)
Mà \(MB = \frac{1}{2}BD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2},MO = \frac{1}{2}DD' = \frac{y}{2}\) nên \(\frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{y^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\\
\frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{y^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}\\
\frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = a\\
y = 2a
\end{array} \right.\)
Vậy thể tích khối hộp \(V = BA.BC.BB' = a.a.2a = 2{a^3}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 3\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx = 2\) . Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx\)
Cho số phức \(z=10-2i\) . Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \) là
Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1\). Khi đó tổng \(x_1+x_2\) bằng
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\) là
Cho cấp số cộng \((u_n)\), biết \({u_1} = - 5,d = 2\). Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) trên tập số thực R và đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ. Khi đó, đồ thị của hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có
.png)
Cho hai hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị (C) và \(y = m{x^2} + nx + p\left( {m,n,p \in R} \right)\) có đồ thị (P) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.png)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x}}\) là
Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - xy + 3 = 0\\
2x + 3y - 14 \le 0
\end{array} \right.\). Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\)?
