Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) với Ox: \({x^4} - (3m + 4){x^2} + {m^2} = 0\) (1)

Đặt \({x^2} = t,\left( {t \ge 0} \right),\) phương trình (1) trở thành \({t^2} - (3m + 4)t + {m^2} = 0\) (2)

Để (C_m) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
3m + 4 > 0\\
{m^2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {3m + 4} \right){}^2 - 4{m^2} > 0\\
m >  - \frac{4}{3}\\
m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{m^2} + 24m + 16 > 0\\
m >  - \frac{4}{3}\\
m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m >  - \frac{4}{5}\\
m <  - 4
\end{array} \right.\\
m >  - \frac{4}{3}\\
m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m >  - \frac{4}{5}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\) 

Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt \({t_1},{t_2}\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\) , dẫn tới (1) có 4 nghiệm phân biệt sắp xếp tăng dần như sau: \( - \sqrt {{t_2}} ; - \sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_2}} \) 

Để dãy số trên là dãy cấp số cộng thì \(\left\{ \begin{array}{l}
 - \sqrt {{t_2}}  + \sqrt {{t_1}}  =  - 2\sqrt {{t_1}} \\
 - \sqrt {{t_1}}  + \sqrt {{t_2}}  = 2\sqrt {{t_1}} 
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_2}}  \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\) 

Theo hệ thức Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = 3m + 4\\
{t_1}{t_2} = {m^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + 9{t_1} = 3m + 4\\
{t_1}.9{t_2} = {m^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = \frac{{3m + 4}}{{10}}\\
{t_1} = \frac{{\left| m \right|}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3m + 4}}{{10}} = \frac{{\left| m \right|}}{3}\) (3)

+) Với m > 0: \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 9m + 12 = 10m \Leftrightarrow m = 12\) (tm)

+) Với \(m < 0:\left( 3 \right) \Leftrightarrow 9m + 12 =  - 10m \Leftrightarrow m =  - \frac{{12}}{{19}}\) (tm)

Vậy m = 12 hoặc \(m =  - \frac{{12}}{{19}}.\)