Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN.
A. \({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\)
B. \({V_{\min }} = \frac{4}{9}\)
C. \({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{18}}\)
D. \({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{36}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.png)
Do SABC là tứ diện đều, G là trọng tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow SG \bot (ABC)\)
=> Thể tích khối tứ diện SAMN: \(V = \frac{1}{3}.SG.{S_{AMN}}\)
+) Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1
\( \Rightarrow AJ = \frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.AJ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Tam giác SAG vuông tại \(G \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {1 - \frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \)
+) Diện tích tam giác AMN:
\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin A = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM\)
Ta có \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3\)
Mà \(\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow 3 \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {AM.AN} }}{2} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow AM.AN \ge \frac{4}{9}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM \ge \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\\
\Rightarrow {V_{S.AMN}} \ge \frac{1}{3}.\sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow {\left( {{V_{SAMN}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\) khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\) hay MN là đường thẳng qua G song song với BC
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|.\) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\) Tìm số phân tử của S.
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\left( C \right).\) Tìm m để đường thẳng \(d:y = mx - m - 1\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất với A(-1;1).
Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác đều có cạnh bằng a. Thể tích của khối nón là:
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
Số tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\) sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x - 29 là:
Thể tích khối cầu có bán kính bằng \(\frac{a}{2}\) là:
Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)
Kết luận nào là đúng về GTLN và GTNN của hàm số \(y = \sqrt {x - {x^2}} \) ?
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
.png)
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _{16}}a = {\log _{25}}\frac{{2a - b}}{3}.\) Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC, M là điểm trên cạnh DC. Một mp \(\left( \alpha \right)\) qua M, song song BC và AI. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với BD và AD. Xét các mệnh đề sau:
(1) MP // BC (2) MQ // AC (3) PQ // AI (4) (MPQ) // (ABC)
Số mệnh đề đúng là:
Số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\) là:
Cho đa giác đều n đỉnh, \(n \in R\) và n > 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 5a, AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:
