Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,x = 1,y = 0\) và \(y = \sqrt {2x + 1} \). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức

Cho hàm số xác định \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho?

Trong  không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm

Phương trình \(ln\left( {{x^2} + 1} \right).\ln \left( {{x^2} - 2018} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức:

Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 1 \end{array} \right.\) là:

Tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = c{\rm{os}}2x\) là

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1\\f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;a} \right]\end{array} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \frac{{ba}}{c}\), trong đó b, c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1\). Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} = \frac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).f\left( 5 \right)...f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).f\left( 6 \right)...f\left( {2n} \right)}}\). Tính \(\lim n\sqrt {{u_n}} \)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + ax + by + cz + d = 0\) có bán kính  \(R = \sqrt {19} \), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 2 - 4t\\z =  - 1 - 4t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y - 3z - 1 = 0\). Trong các số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn \(a + b + c + d = 43\), đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)?

Biết \({x_1},\,{x_2}\), là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\)

Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\). Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của \(F = 4a + 3b - 1\). Tính giá trị M + m

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)

Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \right) > {\log _{0,02}}m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a, diện tích \({S_1}\). Nối 4 trung điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1},\,{D_1}\) theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\) và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích \({S_4},\,{S_5},...\). Tính \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)

Có bao nhiêu giá tri thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng bằng 1?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có \(\int\limits_1^k {\left( {2x - 1} \right)dx}  = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}\)

Cho tam giác SAB vuông tại A, \(ABS = {60^0}\), đường phân giác trong của ABS cắt SA tại điểm I. Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA (như hình vẽ). Cho  tam giác SAB và nửa đường tròn trên cùng quay quanh SA tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng \({V_1},\,{V_2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\). Tính giá trị T của m.M

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng \(y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\)  biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y =  - {x^2}\)

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)\) và \(\frac{x}{y} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2}\), với a, b là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi O là tâm của đáy ABC, \({d_1}\) là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và \({d_2}\) là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính \(d = {d_1} + {d_2}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2;\,\,\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx} \)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6{x^2} - m + 1\) có các giá trị cực trị trái dấu?

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}{.8^{2{x^3}}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\), \(A\left( {2;1;4} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính \(T = {a^3} + {b^3} + {c^3}\)

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(288c{m^3}\). Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ \({m^2}\). Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ là nghiệm phương trình \(2f'\left( x \right) - x.f''\left( x \right) - 6 = 0\)

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miến tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 2} \right)y - 6x + 12 + {m^2} = 0\) và \(\left( C \right):{\left( {x + m} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\) trong các vectơ dưới đây, vectơ nào là của phép tịnh tiến biến (C) thành (C’) ?

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x}  - \sqrt {{x^2} - 3x} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang ?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),\,\,B\left( {1; - 3;1} \right),\,\,C\left( {2;2;3} \right)\). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và gọi \({S_n}\) là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết \({S_7} = 77\) và \({S_{12}} = 192\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó

Biết đường thẳng \(y =  - \frac{9}{4}x - \frac{1}{{24}}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x\) tại một điểm duy nhất; ký hiệu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ điểm đó. Tìm \({y_0}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - {x^2}}}{2} & khi\,\,x < 1\\\frac{1}{x} & khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó

Cho hai hàm số \(F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right){e^{ - x}}\) và \(f\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x + 6} \right){e^{ - x}}\). Tìm a và b để \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {x\sqrt x  + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), nếu biết rằng \(C_n^2 - C_n^1 = 44\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + x - 10 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn MN .

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:

Tìm điều kiện của m để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{e^{ax}} - 1}}{x} & khi\,\,x \ne 0\\\frac{1}{2} & khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\ln ^2}\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\). Tìm các giá trị của x để \(f'\left( x \right) > 0\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \({45^0}\). Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H;K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số \(k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2ax + b\) có điểm cực tiểu \(A\left( {2; - 2} \right)\). Khi đó \(a + b = ?\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k ,\,\,B\left( { - 2;2;0} \right)\) và \(C\left( {4;1; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A, B, C.

Tính tổng S các nghiệm của phương trình \(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)

Kí hiệu \({Z_0}\) là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = {i^{2017}}{z_0}\)?

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính \(S = {S_1} + {S_2}\left( {c{m^2}} \right)\)