Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu gồm 123 trang gồm tóm tắt lý thuyết SGK, phân dạng, hướng dẫn giải, bài tập trắc nghiệm và tự luận các chủ đề: phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3. Các bài tập trắc nghiệm có đáp án và bài tập tự luận được giải chi tiết, bài tập được sắp xếp theo thứ tự các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng dụng thấp và vận dụng cao. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương.

1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với mọi n ≥ n0 (n0 ∈ N), ta thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Tính P(n0), Q(n0) rồi chứng minh P(n0) = Q(n0).
+ Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k), k ∈ N, k ≥ n0, ta cần chứng minh P(k + 1) = Q(k + 1)
Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học
2. DÃY SỐ
Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số
Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn
Phương pháp:
Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét: kn = un+1 – un
+ Nếu kn > 0 ∀n ∈ N* ⇒ dãy (un) tăng.
+ Nếu kn < 0 ∀n ∈ N* ⇒ dãy (un) giảm.
Khi un > 0 ∀n ∈ N*, ta có thể xét: tn = un+1/un
+ Nếu tn > 1 ∀n ∈ N* ⇒ dãy (un) tăng.
+ Nếu tn < 1 ∀n ∈ N* ⇒ dãy (un) giảm.
Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.
[ads]
3. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số
Dãy số (un) là một cấp số cộng ⇔ un+1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai.
Dãy số (un) là một cấp số nhân ⇔ un+1/un = q không phụ thuộc vào n và q là công bội.
Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⇔ a + c = 2b.
Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ⇔ a.c = b^2.
Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d.
Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q.
Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
Sử dụng tính chất của cấp số.
Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số