Đặt \({\log _3}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = {3^t}\\ {x^2} + {y^2} = {2^t} \end{array} \right.\) (*)

Hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow \) đường thẳng \(\Delta :x+2y-{{3}^{t}}=0\) và đường tròn \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( {{\sqrt{2}}^{t}} \right)}^{2}}\) có điểm chung \(\Leftrightarrow d\left( O,\Delta  \right)\le R\Leftrightarrow \frac{\left| 0+0-{{3}^{t}} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le {{\sqrt{2}}^{t}}\Leftrightarrow {{3}^{t}}\le \sqrt{5}.{{\sqrt{2}}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{2} \right)}^{t}}\le 5\Leftrightarrow t\le {{\log }_{\frac{9}{2}}}5\)

Do \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{t}}\) nên \(\left| y \right|\le {{\sqrt{2}}^{t}}\Rightarrow \left| y \right|\le {{\sqrt{2}}^{^{{{\log }_{\frac{9}{2}}}5}}}\approx 1,448967.\)

Vì \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(y\in \left\{ -1;0;1 \right\}\).

Thử lại:

- Với y=-1, hệ (*) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 = {3^t}\\ {x^2} + 1 = {2^t} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{3^t} + 1} \right)^2} + 1 = {2^t} \Leftrightarrow {9^t} + {2.3^t} - {2^t} + 2 = 0\) (**)

Nếu t<0 thì \(2-{{2}^{t}}>0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{2}^{t}}+2>0\).

Nếu \(t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}-{{2}^{t}}\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{2}^{t}}+2>0\).

Vậy (**) vô nghiệm.

- Với y=0 thì hệ (*) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} x = {3^t}\\ {x^2} = {2^t} \end{array} \right. \Rightarrow {9^t} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{2}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow x = 1\)

- Với y=1 thì hệ (*) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} x + 1 = {3^t}\\ {x^2} + 1 = {2^t} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{3^t} - 1} \right)^2} = {2^t} - 1\,\,\left( {***} \right)\)

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm \(t=0\Rightarrow x=0\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là \(y=0,\,\,\,y=1\).