Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -2;2 \right]\) và \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\), \(\forall x\in \left[ -2;2 \right]\). Tính \(I=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x\).
A. \(I = \frac{\pi }{{10}}\)
B. \(I = - \frac{\pi }{{10}}\)
C. \(I = - \frac{\pi }{{20}}\)
D. \(I = \frac{\pi }{{20}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{{x^2} + 4}}\), \(\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\), suy ra \({2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} {\rm{d}}x}\) (1).
Xét \(3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)} {\rm{d}}x\). Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\). Ta có: \(3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)} {\rm{d}}x = 3\int\limits_2^{ - 2} {f\left( t \right)\left( { - {\rm{d}}t} \right)} = 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \) (2).
Thay (2) vào (1), ta được: \(5\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} {\rm{d}}x \Rightarrow I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} {\rm{d}}x\).
Đặt \(x = 2\tan t \Rightarrow {\rm{d}}x = 2\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right){\rm{d}}t\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{4}\\ x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4} \end{array} \right.\).
Khi đó: \(I = \frac{1}{5}.\int\limits_{ - \,\,\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{4{{\tan }^2}t + 4}}{\rm{2}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{{10}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{d}}t} = \frac{\pi }{{20}}\,\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m\) ( với m là tham số thực). Biết \(\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=5\) . Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\) là
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 5. Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x-2 \right)+{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\) là
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg)
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Mặt phẳng \((A{B}'{C}')\) chia khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) thành hai khối đa diện \(A{A}'{B}'{C}'\) và \(ABC{C}'{B}'\) có thể tích lần lượt là \({{V}_{1}},\,{{V}_{2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)=f({{x}^{3}}+f(x))\) là
Cho hàm số \(y=f(x)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\in \left( -10\,;\,10 \right)\) để hàm số \(y=f\left( 3x-1 \right)+{{x}^{3}}-3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( -2\,;\,1 \right)\)?
.png)
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3-2x}{x+1}\) là
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}-2x-3}\). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
