Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn \(f(0)=0\). Biết \(\int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = \frac{9}{2}} \) và \(\int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4}} \). Tích phân \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng.
A. \(\frac{6}{\pi }.\)
B. \(\frac{2}{\pi }.\)
C. \(\frac{4}{\pi }.\)
D. \(\frac{1}{\pi }.\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \cos \frac{{\pi x}}{2}\\
dv = f'\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - \frac{\pi }{2}\sin \frac{{\pi x}}{2}dx\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \cos } \frac{{\pi x}}{2}f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. + \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx} \\
= f\left( 1 \right).cos\frac{\pi }{2} - f\left( 0 \right)\cos 0 + \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx} \\
= \frac{\pi }{2}\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{3}{2}} }
\end{array}\)
Xét tích phân \(\int_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + k\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right]}^2}dx = 0} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \int_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2kf\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2} + {k^2}{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}} \right]dx = 0} \\
\Leftrightarrow \int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx + 2k\int_0^1 {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi x}}{2} + {k^2}\int_0^1 {{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2}dx = 0} } } \\
\Leftrightarrow \frac{9}{2} + 2k\frac{3}{2} + \frac{1}{2}{k^2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3
\end{array}\)
Khi đó ta có \(\int_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) - 3\sin \frac{{\pi x}}{2}} \right]}^2}dx = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 3\sin \frac{{\pi x}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\sin \frac{{\pi x}}{2}} \)
Vậy \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx = 3\int_0^1 {\sin \frac{{\pi x}}{2}dx = - 3\frac{{\cos \frac{{\pi x}}{2}}}{{\frac{\pi }{2}}}\left| \begin{array}{l}
^1\\
\\
_0
\end{array} \right.} } = \frac{{ - 6}}{\pi }\cos \frac{{\pi x}}{2}\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. = - \frac{6}{\pi }\left( {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0} \right) = \frac{6}{\pi }\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1} - 3x - 5}}\).
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB'C'.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({e^{3m}} + {e^m} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15?
Tìm tập nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} + 2x}} = 1\).
Cho \(\int {2x{{\left( {3x - 2} \right)}^6}dx = A{{\left( {3x - 2} \right)}^8} + B{{\left( {3x - 2} \right)}^7} + C} \) với \(A,B,C \in R\). Tính giá trị của biểu thức 12A + 7B.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;2019) để \(\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n} + {9^{n + a}}}}} \le \frac{1}{{2187}}\)?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A,AB = 1cm,AC = \sqrt 3 cm\). Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(\frac{{5\sqrt 5 }}{6}c{m^3}\). Tính khoảng cách từ C tới (SAB).
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn [0;10] và \(\int_0^{10} {f\left( x \right)dx = 7} \) và \(\int_2^6 {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính \(P = \int_0^2 {f\left( x \right)dx + \int_6^{10} {f\left( x \right)dx} } .\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\) \(AB = BC = a,\,\,AD = 2a,\,\,SA = a\sqrt 2 \). Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, E.
Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 6 + {m^2}} \right) \ge 1\) và \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\).
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2x - 3} \right)^{2018}}\) thành đa thức
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1\) (với a là tham số, \(a \ne 0\)) là
