Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số\(y={{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-3mx+2m+1\) có đồ thị (Cm), biết rằng đồ thị \(({{C}_{m}})\) luôn đi qua hai điểm cố định \(A,\,B.\) Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -2020;2020 \right]\) để \(({{C}_{m}})\) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(AB\)?
A. 4041
B. 2021
C. 2019
D. 2020
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Hàm số được viết lại thành \(\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)m+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1-y=0.\)
Một điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình \(\left( x_{0}^{2}-3x_{0}^{{}}+2 \right)m+x_{0}^{3}-x_{0}^{2}+1-{{y}_{0}}=0\) phải nghiệm đúng với mọi \(m,\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 - 3{x_0} + 2 = 0\\ x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1;{y_0} = 1\\ {x_0} = 2;{y_0} = 5 \end{array} \right..\)
Giả sử \(A\left( 1;1 \right),B\left( 2;5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;4 \right)\) khi đó hệ số góc của đường thẳng \(AB\) là \(k=4.\)
Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3mx+2m+1\)
Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng \(AB\) thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng \(k'=-\frac{1}{4}.\) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi \(f'\left( x \right)=-\frac{1}{4}\) có nghiệm.
Ta có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m.\)
Phương trình \(f'\left( x \right)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m=-\frac{1}{4}\left( 1 \right).\)
Phương trình (1) có nghiệm khi \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{-7-4\sqrt{3}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-7+4\sqrt{3}}{2};+\infty \right).\)
Với \(\frac{-7+4\sqrt{3}}{2}\approx -0,03\) nên các số nguyên dương \(m\in \left[ -2020;2020 \right]\) là \(\left\{ 1;2;3;...;2020 \right\}.\)
Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m\) ( với m là tham số thực). Biết \(\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=5\) . Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\) là
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 5. Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x-2 \right)+{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\) là
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg)
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a bằng
Mặt phẳng \((A{B}'{C}')\) chia khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) thành hai khối đa diện \(A{A}'{B}'{C}'\) và \(ABC{C}'{B}'\) có thể tích lần lượt là \({{V}_{1}},\,{{V}_{2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}-2x-3}\). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\in \left( -10\,;\,10 \right)\) để hàm số \(y=f\left( 3x-1 \right)+{{x}^{3}}-3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( -2\,;\,1 \right)\)?
.png)
Cho hàm số \(y=f(x)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y=f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)=f({{x}^{3}}+f(x))\) là
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) không vượt quá 2020 để hàm số \(y=-{{x}^{4}}+(m-5){{x}^{2}}+3m-1\) có ba điểm cực trị
