Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hai số thực \(x,y\) thay đổi thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\).Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S={{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) là \(\frac{a}{b}\) với \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a+b\).
A. T = 8
B. T = 141
C. T = 148
D. T = 151
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Chú ý với hai căn thức ta có đánh giá sau: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2\left( a+b \right)}\).
Vậy theo giả thiết,ta có \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\ge 2\sqrt{x+y+1}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x+y+1=0 \\ & x+y+1\ge 4 \\ \end{align} \right.\)
Và \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\le 2\sqrt{2\left( x+y+1 \right)}\Rightarrow x+y+1\le 8\).
Nếu \(x+y+1=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow S=-\frac{9476}{243}\)
Nếu \(t=x+y\in \left[ 3;7 \right]\),ta có
\({{x}^{2}}\ge 2x\left( x\ge 2 \right);{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}\ge 2y-1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2\left( x+y \right)-1\).
Vì vậy \(S\le {{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-6\left( x+y \right)+3\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t-4}}+\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}-6t+3\) trên đoạn \(\left[ 3;7 \right]\) ta có:
\(f'\left( t \right)={{3}^{t-4}}\ln 3+{{2}^{7-t}}-\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}\ln 2-6\).
\(f''\left( t \right)={{3}^{t-4}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{7-t}}\ln 2-\left( {{2}^{7-t}}-\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}\ln 2 \right)\ln 2\)
\(={{3}^{t-4}}{{\ln }^{2}}3+\left[ \left( t+1 \right)\ln 2-2 \right]{{2}^{7-t}}\ln 2>0,\forall t\in \left[ 3;7 \right]\).
Mặt khác \(f'\left( 3 \right)f'\left( 7 \right)<0\Rightarrow f'\left( t \right)=0\) có nghiệm duy nhất \({{t}_{0}}\in \left( 3;7 \right)\).
Vậy ta lập được bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right)\) như dưới đây:
.png)
Suy ra \(\max S=\underset{\left[ 3;7 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\frac{148}{3}\).Dấu bằng đạt tại \(x=2;y=1\).
Do đó \(T=148+3=151\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-1=0\). Khoảng cách từ điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=\frac{y-3}{2}\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;5 \right]\) sao cho \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{1}^{5}{g\left( x \right)\text{d}x}=-4\). Giá trị của \(\int\limits_{1}^{5}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) là
Cho số phức z có \(\left| z \right|=2\) thì số phức \(\text{w}=z+3i\) có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là:
Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ -2019\,;2019 \right]\) của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}\) có đúng hai đường tiệm cận.
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)-mx+3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\).
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình \(3f\left( x \right)+1=0\) là
.jpg.png)
Trong hình dưới đây, điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.jpg.png)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3\text{x}+2}\) là:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right)-xf\left( x \right)=0,f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=1.\) Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng?
Cho hai số phức z1 = 1+i và z2 = 2-3i. Tính mô đun của số phức z1 + z2
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD=CD=a, AB=2a. Quay hình thang ABCD quanh cạnh AB, thể tích khối tròn xoay thu được là :
Cho không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 0;1;2 \right)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-1-2t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.\), \({{d}_{2}}:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A và song song với hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\).
Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) và M, N là hai điểm lần lượt trên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và \(\frac{CM}{CA}=k\). Mặt phẳng \(\left( MN{B}'{A}' \right)\) chia khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) thành hai phần có thể tích \({{V}_{1}}\) (phần chứa điểm C) và \({{V}_{2}}\) sao cho \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2\). Khi đó giá trị của k là
