Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho các số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}},\,{{z}_{3}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1-4i \right|=2,\,\left| {{z}_{2}}-4-6i \right|=1\) và \(\left| {{z}_{3}}-1 \right|=\left| {{z}_{3}}-2+i \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{3}}-{{z}_{2}} \right|\).
A. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2} + 2\)
B. \(\sqrt {29} - 3\)
C. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2} + 2\sqrt 2 \)
D. \(\sqrt {85} - 3\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đặt \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)\)
\(\left| {{z}_{1}}+1-4i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-4 \right)}^{2}}=4\)
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4\) có tâm \({{I}_{1}}\left( -1\,;4 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=2\)
Đặt \({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)\)
\(\left| {{z}_{2}}-4-6i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}=1\).
Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức \({{z}_{2}}\) là đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=1\) có tâm \({{I}_{2}}\left( 4\,;6 \right)\), bán kính \({{R}_{2}}=1\)
Đặt \({{z}_{3}}={{x}_{3}}+{{y}_{3}}i \left( {{x}_{3}},{{y}_{3}}\in \mathbb{R} \right)\).
\(\left| {{z}_{3}}-1 \right|=\left| {{z}_{3}}-2+i \right|\Leftrightarrow {{x}_{3}}-{{y}_{3}}-2=0\).
Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức \({{z}_{3}}\) là đường thẳng d:x-y-2=0.
Khi đó: \(P=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{3}}-{{z}_{2}} \right|=AM+AN\)
Mặt khác, \(d\left( {{I}_{1}},d\, \right)=\frac{\sqrt{14}}{2}>{{R}_{1}}\,;\,\,d\left( {{I}_{2}},d\, \right)=2\sqrt{2}>{{R}_{2}}\) và \({{I}_{1}},\,{{I}_{2}}\) nằm cùng phía đối với d.
.PNG)
Gọi \(\left( {{{{C}'}}_{2}} \right)\) là đường tròn đối xứng với với \(\left( {{C}_{2}} \right)\) qua d, suy ra \(\left( {{{{C}'}}_{2}} \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\) và gọi \({N}'\) là điểm đối xứng với N qua d. \(\left( {{{{C}'}}_{2}} \right)\) có tâm \({{{I}'}_{2}}\left( 8\,;2 \right)\), bán kính \({{{R}'}_{2}}=1\).
Ta có:
\(AM+M{{I}_{1}}\ge A{{I}_{1}}\Rightarrow AM\ge A{{I}_{1}}-M{{I}_{1}}=A{{I}_{1}}-2\).
\(AN+N{{I}_{2}}=A{N}'+{N}'{{{I}'}_{2}}\ge A{{{I}'}_{2}}\Rightarrow A{N}'\ge A{{{I}'}_{2}}-{N}'{{{I}'}_{2}}=A{{{I}'}_{2}}-1\).
Suy ra \(P=AM+AN=AM+A{N}'\ge A{{I}_{1}}+A{{{I}'}_{2}}-3\ge {{I}_{1}}{{{I}'}_{2}}-3=\sqrt{85}-3\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm \({{I}_{1}},\,A,\,{{{I}'}_{2}}\) thẳng hàng.
Vậy \(\min P=\sqrt{85}-3\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 2{\rm{ }}\,\,{\rm{ }}\,\,khi{\rm{ }}x \le 0\\ {x^2}{\rm{ + 4}}x - 2\,\,\,\,{\rm{ }}khi{\rm{ }}x > 0 \end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\sin 2x.f\left( {{\rm{cos}}x} \right){\rm{d}}x} \) bằng
Có bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -20;20 \right)\) để phương trình \({{7}^{x}}+m=6{{\log }_{7}}\left( 6x-m \right)\) có nghiệm thực
Cho hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số \(y=g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đồ thị của hàm số \(y=-{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 2;4;1 \right),\,N\left( -2;2;-3 \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính MN là
Nếu \(\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx=7}\) và \(\int\limits_{-1}^{2}{f(t)dt=9}\) thì \(\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}\) bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(AB=a,\,AD=a\sqrt{3},\,SA=2a\sqrt{2}\) (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng \(\left( SAB \right)\) bằng
.png)
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 3;4;-4 \right)\). Xét khối trụ \(\left( T \right)\) có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất, hai đáy của \(\left( T \right)\) nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là \(x+by+cz+{{d}_{1}}=0\) và \(x+by+cz+{{d}_{2}}=0\). Khi đó giá trị của biểu thức \(b+c+{{d}_{1}}+{{d}_{2}}\) thuộc khoảng nào sau đây?
Cho hai số phức \(z=2-i;\text{w}=3+2i\). Số phức \(z+\text{w}\) bằng
Phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 4\) có nghiệm là
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
.PNG)
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( 2;1;3 \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y-z-3=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\) trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) bằng
.PNG)
Tập nghiệm của bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+2x}}\le 8\) là
