Cho a là số thực dương tùy ý, \(\ln \frac{e}{{{a^2}}}\) bằng

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;5 \right]\) sao cho \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{1}^{5}{g\left( x \right)\text{d}x}=-4\). Giá trị của \(\int\limits_{1}^{5}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) là

Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và \({u_2} = 8\). Công sai của cấp số cộng bằng

Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh \(l\) và bán kính \(r\) bằng

Cho hai số dương x,y thỏa \({{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+9 \right)-{{y}^{2}}+2={{3}^{{{y}^{2}}}}-{{x}^{2}}-2x\) với \(x\in \left( 0;600 \right)\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên y thỏa mãn phương trình trên ?

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua A’B’ và trọng tâm G của tam giác ABC cắt AC, BC lần lượt tại điểm E, F. Tính thể tích V của khối đa diện A'B'ABFE.

Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+a \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\in \left[ -10;10 \right]\) để \(M\le 2m\).

Xét các số thực dương x,y,z thay đổi và các số thực a,b,c lớn hơn 1 thỏa mãn \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=x+y+2{{z}^{2}}\) thuộc tập nào sau đây ?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Hỏi có tất cả bao  giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( 1-2\sin x \right)=f\left( \left| m \right| \right)\) có nghiệm thực ?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(f\left( 4 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 4x \right)dx}=1,\) khi đó \(\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)}dx\) bằng

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A,B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ như hình vẽ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc \({{45}^{0}}\). Tính diện tích xung quanh S_xq của hình trụ.

Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{x+c}\) có đồ thị như hình bên với \(a,b,c\in \mathbb{Z}.\) Tính giá trị của biểu thức T=a-3b+2c.

Giả sử số lượng một bầy ruồi tại thời điểm t (ngày) so với thời điểm t=0 là \(P(t)={{P}_{0}}{{e}^{kt}},\,\,\,{{P}_{0}}\) là số lượng một bầy ruồi tại thời điểm t=0, k là hằng số tăng trưởng của bầy ruồi. Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày bầy ruồi có 1600 con, biết \({{P}_{0}}=100\)?

Hỏi có tất cả bao giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -10;10 \right]\) để hàm số \(y=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+2m-1\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)?

Cho hình lăng trụ \(ABC{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, thể tích của khối lăng trụ \(ABC{A}'{B}'{C}'\) bằng \(\sqrt{3}{{a}^{3}}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và BC bằng

Hội đồng coi thi THPTQG tại huyện X có 30 cán bộ coi thi đến từ 3 trường THPT, trong đó có 12 giáo viên trường A, 10 giáo viên trường B, 8 giáo viên trường C. Chủ tịch hội đồng coi thi gọi ngẫu nhiên 2 cán bộ coi thi lên chứng kiến niêm phong gói đựng bì đề thi. Xác suất để 2 cán bộ coi thi được chọn là giáo viên của 2 trường THPT khác nhau bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( 1;-2;5 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):4x-3y+2z+5=0\) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;3;-4 \right)\) và \(B\left( -1;2;2 \right)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\) của đoạn thẳng AB. 

Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2z+5=0\), trong đó \({{z}_{1}}\) có phần ảo dương. Tính \(\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|\).

Cho hai số phức \({{z}_{1}}=-2+i\) và \({{z}_{2}}=1+i\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức \(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) có tọa độ là

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{4}{x},y=0,x=1\) và x=4. Thể tích của khối  tròn xoay được sinh ra khi ta quay (H) quay quanh trục Ox là

Cho biết \(\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{e}^{x}}-1}}=a\ln ({{e}^{2}}+e+1)-2b\) với a, b là các số nguyên. Tính K=a+b.

Cho hình tròn tâm S, bán kính R = 2 . Cắt bỏ đi \(\frac{1}{4}\) hình tròn rồi dán lại để tạo ra mặt xung quanh của hình nón như hình vẽ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 2x-3 \right)<{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\). 

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+2}\) với đường thẳng y=4x+1 là

Với  a,b là hai số thực dương và khác 1 thỏa mãn \({{\log }_{\sqrt{a}}}\left( a\sqrt[{}]{b} \right)=1\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 5} \) trên [0;3]. Giá trị của biểu thức M + m bằng

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{6}\). Tính góc \(\varphi \) giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right).\)

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua \(M\left( 2;0;-3 \right)\) và song song với đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{4}\) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+3z+5=0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P) ?

Trong không gian Oxyz, tính bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;0;-2 \right),\text{ }B\left( 2;1;-1 \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB.

Trong mặt phẳng Oxy, cho số phức z=2-3i. Điểm biểu diễn số phức \(\text{w}=iz-(i+2)\overline{z}\) là điểm nào sau đây ?

Cho số phức \(z=a+bi,(a,b\in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(3z+5\bar{z}=5-2i\). Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{a}{b}.\)

Số phức liên hợp của  số phức z=5-4i là

Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2,\text{ }\int\limits_{2}^{6}{f\left( x \right)dx}=3\) thì \(\int\limits_{1}^{6}{f\left( x \right)dx}\) bằng

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+\text{ }b{{x}^{2}}+cx+\text{ }d\text{ }\left( a\ne 0 \right)\) có đồ thị như hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right)-2=0\) là

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{{x^2} + 3x}} \le 16\) là số nào sau đây ?

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) là đường thẳng 

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.

Hàm số đó là hàm số nào?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng h = 10 và bán kính đường tròn đáy bằng r = 4 là

Với a là số thực dương tùy ý, \(lo{{g}_{3}}{{a}^{2}}\) bằng

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

Thể tích khối cầu có bán kính R = 2a bằng 

Tính diện tích xung quanh \({{S}_{xq}}\) của hình nón có bán kính đáy r=3 và độ dài đường sinh l=5.