Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiGiả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) bằng
A. \(20 - 4\sqrt {21} \)
B. \(20 - 4\sqrt {22} \)
C. \(5 - \sqrt {22} \)
D. \(5 - \sqrt {21} \)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.jpg.png)
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in \mathbb{R}\).Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\). Suy ra \(AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\).
* Ta có \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right) =\left[ \left( x-6 \right)+yi \right].\left[ \left( 8-y \right)-xi \right] =\left( 8x+6y-48 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i\). Theo giả thiết \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực nên ta suy ra \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\). Tức là các điểm A,B thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính R=5.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}\)
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có \(HA=HB=\frac{AB}{2}=2\) và \(MA=\frac{3}{4}AB=3 \Rightarrow HM=MA-HA=1\).
Từ đó \(H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21, IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}\), suy ra điểm M thuộc đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính \(r=\sqrt{22}\)
* Ta có \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM\), do đó \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có \(O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22}\)
Vậy \({{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( 2x+3 \right),\,\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Cho hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P). Xét các điểm A, B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \(\frac{9}{4}\). Gọi \(x_{1}^{{}},\,x_{2}^{{}}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({{(x_{1}^{{}}+\,x_{2}^{{}})}^{2}}\) bằng :
Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) có nghiệm là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và \(I\left( 1;2;3 \right).\) Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị, đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số \(h\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2x.f\left( x \right)+2{{x}^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
.jpg.png)
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+1\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+z-7=0\) và đi qua hai điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right), B\left( 2\,;\,5\,;\,3 \right)\). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3\log a+2\log b=1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết AB,AC,AD đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng 2,3,4.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+3\text{x}}}\le 16\) là
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}dx}=\frac{a}{4}-4\ln \frac{4}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của a+b bằng
.jpg.png)
Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng \(4\pi a\) và độ dài đường cao bằng a là
