Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right),\;ABC\) có tam giác vuông tại \(B.\) Biết \(BC = 2a,\;\;AB = 2a\sqrt 3 ,\;\;AD = 6a.\) Quay tam giác \(ABC\) và \(ABD\) (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng \(AB\) ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
A. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
C. \(\dfrac{{64\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có:
Khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) được sinh bởi \(\Delta ABC\) khi quay quanh \(AB\) có chiều cao \({h_1} = AB\) và bán kính đáy \({R_1} = BC.\)
Khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) được sinh bởi \(\Delta ADB\) khi quay quanh \(AB\) có chiều cao \({h_2} = AB\) và bán kính đáy \({R_2} = AD.\)
.JPG)
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) kẻ đường kính GH // DE. Dễ dàng chứng minh dược DEGH là hình thang cân.
Gọi \(M = AG \cap BE;\,\,N = AH \cap BD\), \(I = AB \cap MN\).
Khi đó phần chung giữa hai khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) và \(\left( {{N_2}} \right)\) là hai khối nón:
+) Khối nón \(\left( {{N_3}} \right)\) đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy IN\( \Rightarrow {V_3} = \dfrac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI\)
+) Khối nón \(\left( {{N_4}} \right)\) đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy IN \( \Rightarrow {V_4} = \dfrac{1}{3}\pi I{N^2}.AI\)
\( \Rightarrow \) Thể tích phần chung \(V = {V_3} + {V_4} = \dfrac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI + \dfrac{1}{3}\pi I{N^2}.AI = \dfrac{1}{3}\pi I{N^2}\left( {AI + BI} \right) = \dfrac{1}{3}\pi .I{N^2}.AB\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\begin{align}\frac{MN}{GH}=\frac{AI}{AB};\,\,\frac{MN}{DE}=\frac{BI}{AB}\Rightarrow \frac{MN}{GH}+\frac{MN}{DE}=\frac{AI+BI}{AB}=1 \\ \Rightarrow MN\left( \frac{1}{2BC}+\frac{1}{2AD} \right)=1\Leftrightarrow MN.\left( \frac{1}{2.2a}+\frac{1}{2.6a} \right)=1\Leftrightarrow MN=3a \\ \end{align}\)
Dễ thấy I là trung điểm của MN \( \Rightarrow IN = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Vậy \(V = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2}.2a\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\).
Chọn B.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left| x \right|.\) Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}\).
Xác định các hệ số \(a,\;b,\;c\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y' = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6.\) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên \(\left( {3;\;5} \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);\,\,B\left( {0;0;3} \right);\,\,C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 3 = 0\). Tìm trên (P) điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {x^3} - 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} + \dfrac{{16}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{3}{2};\;4} \right]\) bằng:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) có đúng bốn nghiệm phân biệt.
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để \(f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) < f\left( 1 \right)\).
Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{12}}\) ta có hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) bằng 792. Giá trị của m là:
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình trụ, \(AB = 4a;\,\,AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ:
Với \(a\) và \(b\) là hai số thực dương, \(a \ne 1.\) Giá trị của \({a^{{{\log }_a}{b^3}}}\) bằng:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({2^{x + 1}} = 4.\)
