Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho tứ diện ABCD có \(AD \bot (ABC), ABC\) có tam giác vuông tại B. Biết \(BC = 2a,AB = 2a\sqrt 3 ,AD = 6a\). Quay tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
A. \(\frac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
B. \(\frac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
C. \(\frac{{64\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
D. \(\frac{{4\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có:
Khối nón \((N_1)\) được sinh bởi \(\Delta ABC\) khi quay quanh AB có chiều cao \(h_1=AB\) và bán kính đáy \(R_1=BC\)
Khối nón \((N_2)\) được sinh bởi \(\Delta ADB\) khi quay quanh AB có chiều cao \(h_2=AB\) và bán kính đáy \(R_2=AD\)
.png)
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của hình nón \((N_1)\) kẻ đường kính GH // DE. Dễ dàng chứng minh được DEGH là hình thang cân.
Gọi \(M = AG \cap BE;N = AH \cap BD,I = AB \cap MN.\)
Khi đó phần chung giữa hai khối nón \((N_1)\) và \((N_2)\) là hai khối nón:
+) Khối nón \((N_3)\) đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy \(IN \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI\)
+) Khối nón \((N_4)\) đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy \(IN \Rightarrow {V_4} = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.AI\)
Thể tích phần chung \(V = {V_3} + {V_4} = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI + \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.AI = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.(AI + BI) = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.AB\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{MN}}{{GH}} = \frac{{AI}}{{AB}};\frac{{MN}}{{DE}} = \frac{{BI}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{GH}} + \frac{{MN}}{{DE}} = \frac{{AI + BI}}{{AB}} = 1\\
\Rightarrow MN\left( {\frac{1}{{2BC}} + \frac{1}{{2AD}}} \right) = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{2.2a}} + \frac{1}{{2.6a}}} \right) = 1 \Leftrightarrow MN = 3a
\end{array}\)
Dễ thấy I là trung điểm của MN \( \Rightarrow IN = \frac{{MN}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)
Vậy \(V = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2}.2a\sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a = (1; - 2;3)\) và \(\overrightarrow b = (2; - 1; - 1)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 2 = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm \(f'(x)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ. Xác định điểm cực đại của hàm số \(g(x)=f(x)+x\).
.png)
Cho tứ diện ABCD có \((ACD) \bot (BCD),AC = AD = BC = BD = a,CD = 2x\). Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
Cho một tập hợp A gồm 9 phân tử. Có bao nhiêu cặp tập con khác rỗng không giao nhau của tập A?
Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^{12}}\) ta có hệ số của số hạng chứa bằng 792. Giá trị của m là:
Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2} + 2m}}{{x - 2}}\) trên đoạn [3;4]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A + B = \frac{{19}}{2}\)
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của SA, N là hình chiếu vuông góc của A lên SO. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình trụ, \(AB = 4a;AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);B\left( {0;0;3} \right);C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x + y + z - 3 = 0\). Tìm trên (P) điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f'(x) > 0,\forall x \in R\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) < f\left( 1 \right)\)
Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
.png)
Cho hai góc nhọn a và b thỏa mãn \(\tan a = \frac{1}{7}\) và \(\tan b = \frac{3}{4}\). Tính a + b.
