Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), cắt đường thẳng \(SD\) tại \(E\). Gọi \(V\) và \({V_1}\) lần lượt là thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và \(D.ACE\), biết \(V = 5{V_1}\). Tính côsin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABCD\).
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\)
D. \(\sqrt {\frac{2}{3}} \)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.png)
Gọi \(O = AC \cap BD\), vì chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\).
Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right)\).
Mà \(O \in \left( P \right) \Rightarrow OK \subset \left( P \right) \Rightarrow K \in \left( P \right)\).
Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(E = CK \cap SD \Rightarrow E = \left( P \right) \cap SD\). Khi đó \(\left( P \right) \equiv \left( {ACE} \right)\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(EH\parallel SO\,\,\left( {H \in BD} \right)\), suy ra \(EH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{V_{D.ACE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}EH.{S_{ACD}}}}{{\frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}}} = \frac{{EH}}{{SO}}.\frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{{EH}}{{SO}}.\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{EH}}{{SO}} = \frac{2}{5} = \frac{{DE}}{{DS}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SMD\) có:
\(\frac{{KS}}{{KM}}.\frac{{CM}}{{CD}}.\frac{{ED}}{{ES}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KM}}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KM}} = 3\)\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{MS}} = \frac{1}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\), đường cao \(OK\) ta có:
\(O{M^2} = MK.MS \Rightarrow \frac{{O{M^2}}}{{M{S^2}}} = \frac{{MK}}{{MS}} = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow \frac{{OM}}{{MS}} = \frac{1}{2} = \cos \angle SMO\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Tính thể tích của khối nón đã cho.
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu nhiên một số từ tập \(S\). Xác suất để số lấy được có tận cùng bằng \(3\) và chia hết cho \(7\) có kết quả gần nhất với số nào trong các số sau?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình thang cân \(ABCD\) có hai đáy \(AB,\,\,CD\) thỏa mãn \(CD = 2AB\) và diện tích bằng \(27\), đỉnh \(A\left( { - 1; - 1;0} \right)\), phương trình đường thẳng chứa cạnh \(CD\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\). Tìm tọa độ điểm \(D\) biết hoành độ điểm \(B\) lớn hơn hoành độ điểm \(A\).
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {3;3;2} \right)\), \(C\left( { - 1;2;2} \right)\) và \(D\left( {3;3;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) hạ từ đỉnh \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( {x + 2019} \right) = 1\) là:
.jpg.png)
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({3^{x + 1}} - \frac{1}{3} > 0\).
Khai triển nhị thức \({\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) có tất cả \(2019\) số hạng. Tìm \(n\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right)\), \(B\left( { - 1;0;4} \right)\), \(C\left( {0; - 2; - 1} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc \(BC\).
Cắt một hình trụ bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng \(3a\). Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \sin x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \). Khối tròn xoay \(D\) tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{2}}}\) là:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Biết \(SA = 2a\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
