Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình chóp S.ABCD có \(SC = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{a\sqrt m }}{n}\,\,\left( {m,n \in {N^*}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m + 2n = 10\)
B. \(2{m^2} - 3n < 15\)
C. \({m^2} - n = 30\)
D. \(4m - {n^2} = - 20\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Vì \(SA = SB = SD = a\) nên hình chiếu vuôn của của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do tam giác ABD cân tại A \( \Rightarrow H \in AC\).
Dễ dàng chứng minh được:
\(\Delta SBD = \Delta ABD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SO = AO = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) \( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \).
.JPG)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \dfrac{{SA.SC}}{{AC}} = \dfrac{{a.x}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)
Ta có \(OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}\)\( \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \).
Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD\). Khi đó ta có:
\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} - {x^2}} = \dfrac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \dfrac{1}{6}a\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow m + 2n = 10\).
Chọn A.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}\).
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left| x \right|.\) Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);\,\,B\left( {0;0;3} \right);\,\,C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 3 = 0\). Tìm trên (P) điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {x^3} - 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)
Xác định các hệ số \(a,\;b,\;c\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y' = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6.\) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên \(\left( {3;\;5} \right).\)
Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào ?
.JPG)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} + \dfrac{{16}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{3}{2};\;4} \right]\) bằng:
Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{12}}\) ta có hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) bằng 792. Giá trị của m là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để \(f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) < f\left( 1 \right)\).
Với \(a\) và \(b\) là hai số thực dương, \(a \ne 1.\) Giá trị của \({a^{{{\log }_a}{b^3}}}\) bằng:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) có đúng bốn nghiệm phân biệt.
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({2^{x + 1}} = 4.\)
