Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = {x^3} - 2x, \forall x \in R\) và \(f(0) = f'(0) = 2\). Tính giá trị của \(T = {f^2}(2).\)
A. \(\frac{{268}}{{15}}\)
B. \(\frac{{160}}{{15}}\)
C. \(\frac{{268}}{{30}}\)
D. \(\frac{4}{{15}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \(VT = \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = f'(x).f'(x) + f(x).f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x)\)
\( \Rightarrow \left[ {f'(x).f(x)} \right]' = {x^3} - 2x(*)\)
Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: \(f'(x).f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C(1)\)
Lại có: \(f'(0) = f(0) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow (1) \Leftrightarrow f(x).f'(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4\\
\Rightarrow \int {f(x)f'(x)dx = \int {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f(x)df(x) = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\
\Leftrightarrow \frac{{{f^2}(x)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A
\end{array}\)
Có \(f(0) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\
\Rightarrow {f^2}(2) = \frac{{{2^5}}}{{10}} - \frac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{{268}}{{15}}
\end{array}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a = (1; - 2;3)\) và \(\overrightarrow b = (2; - 1; - 1)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 2 = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}\)
Cho tứ diện ABCD có \((ACD) \bot (BCD),AC = AD = BC = BD = a,CD = 2x\). Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
Cho một tập hợp A gồm 9 phân tử. Có bao nhiêu cặp tập con khác rỗng không giao nhau của tập A?
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm \(f'(x)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ. Xác định điểm cực đại của hàm số \(g(x)=f(x)+x\).
.png)
Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2} + 2m}}{{x - 2}}\) trên đoạn [3;4]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A + B = \frac{{19}}{2}\)
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của SA, N là hình chiếu vuông góc của A lên SO. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^{12}}\) ta có hệ số của số hạng chứa bằng 792. Giá trị của m là:
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình trụ, \(AB = 4a;AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);B\left( {0;0;3} \right);C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x + y + z - 3 = 0\). Tìm trên (P) điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.
Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
.png)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(-2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox, có hoành độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f'(x) > 0,\forall x \in R\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) < f\left( 1 \right)\)
