Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
A. 4
B. 6
C. 7
D. 10
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
+) Đặt \(t = \sqrt[3]{x} \Rightarrow {t^3} = x \Rightarrow 3{t^2}dt = dx\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{{{t^3}}}3{t^2}dt} = 3\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 2\)
+) Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\cos x\sin xdx \Rightarrow dt = - 2{\cos ^2}x\tan xdx \Rightarrow \tan xdx = - \frac{1}{{2t}}dt\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\frac{1}{4}} {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 12\)
+) Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow dt = 2{x^2}\frac{{dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{t}\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} } = \frac{{2 + 12}}{2} = 7\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho số nguyên a, số thực b. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để tồn tại số thực x thỏa mãn \(x + a = {4^b}\) và \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {a + 2} = {3^b}\). Tổng các phần tử của tập S là
Gọi S là các tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3mx + 8} \right|\) trên đoạn [0;3] bằng 8. Tổng các số nguyên m bằng
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-1;4;2) và có bán kính R = 5 có phương trình là:
Gọi S là tập hợp các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\) và đường thẳng y = 1. Tổng các phần tử của S là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC.
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng (0;2) là
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({25^x} - \left( {m + 1} \right){.5^x} + m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 4\) bằng:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 3z - 5 = 0\). Vectơ nào dưới đây không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho?
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(2f\left( {3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) = m - 3\) có nghiệm?
.png)
Cho hình chóp S.ABC biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA = a. Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a. M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB bằng
Cho x và y là những số thực không âm thỏa mãn \({x^2} + 2x + \frac{{{y^2}}}{2} - 3 = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}}\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức T = x + y thuộc tập nào dưới đây ?
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) của phương trình \(f(c{\rm{osx}}) = c{\rm{osx}}\) là
.png)
Cho hàm số \(f(x) = {2^x}{.5^{{x^2}}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Tọa độ giao điểm của (P) và d là điểm nào dưới đây?
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 5} \right)^3}\). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là
