Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot x.f\left( {{\sin }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}\text{d}x}=1\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}\).
A. I = 3
B. \(I = \frac{3}{2}\)
C. I = 2
D. \(I = \frac{5}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đặt \({{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot x.f\left( {{\sin }^{2}}x \right)\text{d}x}=1\), \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}\text{d}x}=1\).
Đặt \(t={{\sin }^{2}}x \Rightarrow \text{d}t=2\sin x.\cos x\text{d}x =2{{\sin }^{2}}x.\cot x\text{d}x =2t.\cot x\text{d}x\).
\({{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot x.f\left( {{\sin }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{f\left( t \right).\frac{1}{2t}\text{d}t} =\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( t \right)}{t}\text{d}t} =\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}{\frac{f\left( 4x \right)}{4x}\text{d}\left( 4x \right)} =\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}\).
Suy ra \(\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}=2{{I}_{1}}=2\)
Đặt \(t=\sqrt{x} \Rightarrow 2t\text{d}t=\text{d}x\).
.PNG)
\({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}\text{d}x} =\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( t \right)}{{{t}^{2}}}\text{2}t\text{d}t} =2\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( t \right)}{t}\text{d}t} =2\int\limits_{\frac{1}{4}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{4x}\text{d}\left( 4x \right)} =2\int\limits_{\frac{1}{4}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}\).
Suy ra \(\int\limits_{\frac{1}{4}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}=\frac{1}{2}{{I}_{2}}=\frac{1}{2}\)
Khi đó, ta có: \(\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}+\int\limits_{\frac{1}{4}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x} =2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _8}\left( {{a^6}} \right)\) bằng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = \,\,4t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.\). Điểm nào dưới đây thuộc d?
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m\) (m là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{min}}}\,{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}=2020\). Số tập con của S là:
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( Q \right):3\,x-2y+z-3=0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\)
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
.jpg.png)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 3\,;\,1\,;\,0 \right)\) và mặt phẳng \((\alpha ):3x-2x+z-3=0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là
Cho các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên tập xác định. Mệnh đề nào sau đây sai?
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;-2;3 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{3}=\frac{3-y}{4}=\frac{z}{2}\). Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là
Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }}{{2x + 1}}\) là
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}\) và y=6-11x được tính bởi công thức nào dưới đây?
Tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {2^{x + 1}} - 8 > 0\) là
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}\), nếu đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}\) bằng
