Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A. \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{{{e^2}}}\).
B. \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{{4{e^2}}}\).
C. \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{4{e^2}}}\).
D. \( - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{e^2}}}\).
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \(f'\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow {e^{2x}}f'\left( x \right) + {e^{2x}}.2f\left( x \right) = {e^{2x}} \Leftrightarrow {\left( {{e^{2x}}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {e^{2x}}\)\( \Rightarrow {e^{2x}}.f\left( x \right) = \int {{e^{2x}}} dx \Leftrightarrow {e^{2x}}.f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + C\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 1\)\( \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{2} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\,\, \Rightarrow \)\({e^{2x}}.f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2x}} + 1}}{{2{e^{2x}}}}\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^{2x}} + 1}}{{2{e^{2x}}}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}{e^{ - 2x}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{4{e^2}}}} \right) - \left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{{4{e^2}}}\).
Chọn: B
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,\,BC = a\sqrt 3 \), cạnh \(SA = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị \(\tan \alpha \) bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(AC = 2\sqrt 3 a,\,\,BD = 2a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến (SAB) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 6t\\z = - 1 - 8t\end{array} \right.\). Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc d là điểm thỏa mãn \(IA + IB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(T = a + b + c\) bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a,\,\)\(SA = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB, SA. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng:
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{5x + 4}}\) là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = 16\), \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( {2x} \right)dx} \).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 4 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đường cong \(y = - {x^3} + 12x\) và \(y = - {x^2}\) là:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^3} + 1}}\).
Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1\) là:
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \dfrac{1}{2}\), \({u_2} = \dfrac{7}{2}\). Khi đó công sai d bằng:
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)z = 6 - 3i\). Phần thực của số phức z là:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^3} - 3m{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 2 - m\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \( \in \left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có 5 điểm cực trị?
