Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0, \int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\sin 2x.f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}.\) Tích phân \(\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
A. \(\frac{{ - 1}}{2}.\)
B. \(\frac{{ 1}}{2}.\)
C. \(\frac{{ - 1}}{4}.\)
D. \(\frac{{ 1}}{4}.\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đặt \(u=f\left( x \right)\Rightarrow \text{d}u={f}'\left( x \right)\text{d}x,\text{d}v=\sin 2x\text{d}x\Rightarrow v=-\frac{1}{2}\cos 2x.\)
Do đó: \(\frac{1}{2}=\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\sin 2x.f\left( x \right)\text{d}x}=\left. \left( -\frac{f\left( x \right)}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}+\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\frac{1}{2}\cos 2x.{f}'\left( x \right)\text{d}x}\)
\(\Rightarrow \int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\left( \cos 2x \right).{f}'\left( x \right)\text{d}x}=1\Rightarrow \int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\left( 2\cos 2x \right).{f}'\left( x \right)\text{d}x}=2\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2\cos 2x.\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=\sin 2x+C.\) Mà \(f\left( 0 \right)=0\) nên \(C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\sin 2x.\)
\(\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\sin 2x\text{d}x}=\left. \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\) ?
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng 2a; O là trọng tâm tam giác ABC và \({A}'O=\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 + 3t\\ z = 5 - t \end{array} \right.(t \in R).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) có đồ thị là (C). Gọi \(M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\) là một điểm bất kỳ trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng \({{x}_{M}}+{{y}_{M}}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Cho hàm số \(y=f\left( x \right).\) Đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Đặt \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3f\left( x \right).\)
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và \({A}'{B}'{C}'.\) Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\), biết tiếp tuyến song song vối đường thẳng \(y = - 5x - 3\)
Cho tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}\cos x\text{d}x}\) và \(u={{x}^{2}},\text{d}v=\cos x\,\text{d}x\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a. Một hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\left( a;b \right)\). Phát biểu nào sau đây là đúng ?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x-z+2=0.\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)?\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và \(B\left( 4;5;-2 \right).\) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng \(\left( P \right):3x-4y+5z+6=0\) tại điểm M. Tính tỉ số \(\frac{BM}{AM}.\)
Cho số phức \(z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(2z-5\bar{z}=-9-14i.\)
Tính S=a+b
