Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3\) và đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) là: 

\(\left( 3m-1 \right)x+6m+3={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1-\left( 3m-1 \right)x-6m-3=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( 3m-1 \right)x-6m-2=0\left( * \right)\)

Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) là ba nghiệm phân biệt của phương trình (*). 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = - \left( {3m - 1} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\ {x_1}{x_2}{x_3} = 6m + 1{\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array} \right.\)

Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) và \(C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right).\)

Giả sử B là điểm cách đều A, C \(\Rightarrow \) B là trung điểm của AC \(\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}.\)

\(\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow 3{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1\)

Thay \({{x}_{2}}=1\) vào phương trình (*) ta được: 

\(\left( * \right)\Leftrightarrow 1-3-\left( 3m-1 \right)-6m-2=0\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow -4-3m+1-6m=0 \\ & \Leftrightarrow -9m=3 \\ \end{align}\)

\(\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}\)

Với \(m=-\frac{1}{3}\) ta được: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow m=-\frac{1}{3}\) thỏa mãn bài toán.

\(\Rightarrow m\in \left( -1;0 \right).\)