Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu gồm 140 trang trình bày các dạng toán trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4 – Giới hạn, với các chủ đề: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục, sau mỗi phần đều có bài tập trắc nghiệm và tự luận giới hạn có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương.

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp:
+ Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un| < a với mọi n > na.
+ Để chứng minh lim un = 1 ta chứng minh lim(un – 1) = 0.
+ Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M với mọi n > nM.
+ Để chứng minh lim un = -∞ ta chứng minh lim (-un) = +∞.
+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
+ Khi tìm lim f(n)/g(n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
+ Khi tìm lim [(f(n))^1/k – (g(n))^1/m] trong đó lim f(n) = lim g(n) = +∞ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số
+ Bài toán 01: Tìm lim f(x) khi x → x0 biết xác định tại x0
+ Bài toán 02. Tìm lim f(x)/g(x) khi x → x0 trong đó f(x0) = g(x0) = 0
+ Bài toán 03: Tìm lim f(x)/g(x) khi x → ±∞, trong đó f(x), g(x) → ∞, dạng này ta còn gọi là dạng vô định ∞/∞
+ Bài toán 04: Dạng vô định: ∞ – ∞ và 0.∞
+ Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác
[ads]
3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
+ Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0)
+ Nếu tồn tại lim f(x) khi x → x0 thì ta so sánh với lim f(x) khi x → x0 với f(x0)
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp:
+ Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f(a).f(b) < 0.
+ Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) (i = 1, 2, …, k) nằm trong D sao cho f(ai).f(ai+1) < 0.