Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao luôn là các câu hỏi thuộc nhóm phân loại học sinh giỏi, xuất sắc và chiếm một tỉ lệ điểm số tương đối trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Nhằm giúp các em học sinh có thể nắm vững dạng toán này, tác giả Nguyễn Minh Tuấn đã biên soạn chuyên đề hướng dẫn phương pháp giải các bài toán nguyên hàm – tích phân khó.

Nội dung của chuyên đề:
1. Tích phân truy hồi
2. Nguyên hàm – tích phân hàm phân thức hữu tỷ
Nguyên hàm phân thức hữu tỷ là một bài toán khá cơ bản, nhưng cũng được phát triển ra rất nhiều bài toán khó.
3. Nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác
Để làm tốt được các bài toán nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác ta cần nắm chắc được các biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ ….
4. Đưa biểu thức vào trong dấu vi phân
Ở nội dung bài viết này ta sẽ nhắc tới một số bài toán sử dụng kỹ thuật đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân, để làm được những bài toán này cần chú ý đến kỹ năng biến đổi, đạo hàm.
5. Tích phân liên kết
Có rất nhiều bài toán tích phân ta không thể sử dụng cách tính trực tiếp được hoặc tính trực tiếp tương đối khó với những bài toán như vậy ta thường sử dụng tới một kỹ thuật đó là tích phân liên kết. Chủ yếu các bài toán sử dụng phương pháp này là các tích phân lượng giác hoặc có thể là hàm phân thức.
6. Kỹ thuật lượng giác hóa
Khi tính tích phân ta sẽ gặp một số bài toán dưới dấu căn thức chứa một số hàm có dạng đặc biệt mà khó tính như bình thường được, khi đó ta sẽ nghĩ tới phương pháp lượng giác hóa.
7. Nguyên hàm – tích phân từng phần
Kỹ thuật từng phần là một kỹ thuât khá cơ bản nhưng rất hiệu quả trong các bài toán tính tích phân, ở trong phần này ta sẽ không nhắc lại các bài toán cơ bản nữa mà chỉ đề cập tới một số bài toán nâng cao trong phần này.
8. Đánh giá hàm số để tính tích phân
Trong các bài toán tính tích phân ta sẽ gặp phải một số trường hợp tính tích phân hàm cho bởi 2 công thức phải sử dụng đến đánh giá để so sánh 2 biểu thức từ đó chia tích phân cần tính ra thành 2 phần.
9. Kỹ thuật thế biến – lấy tích phân 2 vế
Kỹ thuật thế biến – lấy tích phân 2 vế được áp dụng cho những bài toán mà giả thiết có dạng tổng của hai hàm số, khi đó ta sẽ lợi dụng mối liên hệ giữa các hàm theo biến số x để thay thế những biểu thức khác sao cho 2 hàm số đó đổi chỗ cho nhau.
10. Tích phân hàm cho bởi 2 công thức
Ta hiểu nôm na tích phân hàm phân nhánh tức là các phép tính tích phân những hàm cho bởi hai công thức, đây là một vấn đề dễ không có gì khó khăn cả nếu đã từng gặp và biết phương pháp làm.
11. Tích phân hàm ẩn
Những bài toán tích phân trong phần này không khó, tất cả được che giấu dưới một lớp các ẩn số, việc làm của chúng ta là phát hiện ra được cách đặt ẩn để đưa tất cả về dạng chuẩn thì bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.
12. Tích phân đổi cận – đổi biến
Các bài toán tích phân đổi biến đổi cận là các bài toán tương đối hay, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi thử và đề thi THPT quốc gia.
13. Tích phân có cận thay đổi
Nếu như bình thường ta hay xét với những bài tích phân có cận là các hằng số cố định thì trong phần này ta sẽ cùng tìm hiểu các bài toán có cận là các hàm theo biến x.
14. Bài toán liên quan tới f’(x) và f(x)
Trong phần này ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một lớp bài toán liên quan tới quan hệ của hai hàm f’(x) và f(x), đây là một dạng đã xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia 2018 của bộ GD – ĐT và trong rất nhiều đề thi thử của các trường chuyên.
15. Bất đẳng thức tích phân
Các bài toán bất đẳng thức tích phân được giới thiệu trong phần này nhất là phần sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đa phần chỉ mang tính tính tham khảo, không nên quá đi sâu do đây là chương trình liên quan tới toán cao cấp của bậc đại học.
1. Phân tích bình phương
2. Cân bằng hệ số và bất đẳng thức AM – GM
Trong phần này ta sẽ tiếp cận một số bài toán khó hơn phải sử dụng đến bất đẳng thức AM – GM và các kỹ thuật cân bằng hệ số trong bất đẳng thức.
3. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tích phân
Nhìn chung thì các bài toán này chưa gặp thì sẽ thấy nó lạ và rất khó, tuy nhiên nếu đã gặp và làm quen rồi thì bài toán này trở nên tương đối dễ.