Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;-2;-1 \right)\), bán kính R=3.

Ta có: \(d\left( I,\left( \alpha  \right) \right) =\frac{\left| 2.1-\left( -2 \right)+2.\left( -1 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}} =4>R\), suy ra \(\left( \alpha  \right)\) không cắt quả cầu \(\left( S \right)\).
Vậy khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua tâm I và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

Gọi d là phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\)

Ta tìm giao điểm của d và (S). Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t} \right)^2} - 2\left( {1 + 2t} \right) + 4\left( { - 2 - t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 3 = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ 9{t^2} - 9 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} t = 1\\ x = 3\\ y = - 3\\ z = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ x = - 1\\ y = - 1\\ z = - 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Suy ra có hai giao điểm là \(M\left( {3; - 3;1} \right)\) và \(N\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\).

Ta có: \(d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - \left( { - 3} \right) + 2.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\); \(d\left( {N,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) + 2\left( { - 3} \right) - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 7\).
Suy ra \(H \equiv N\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\). Từ đó a = -1; b = -1; c = -3.

Mặt khác, theo giả thiết A, B, C là hình chiếu của H xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\,,\,\left( {Oyz} \right)\,,\,\left( {Ozx} \right)\).

Suy ra \(A\left( { - 1\,;\, - 1\,;\,0} \right),\,B\left( {0\,;\, - 1\,;\, - 3} \right),\,C\left( { - 1\,;\,0\,;\, - 3} \right)\).

Vậy \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt {19} }}{2} \in \left( {2\,;\,3} \right)\).