ĐKXĐ: \(x >  - \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2x - m\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x - 1} \right) + 2 - m\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right) - 2} \right] = 2 - m
\end{array}\) 

Xét \(x \ge 1 \Rightarrow x - 1 \ge 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
4x + 1 \ge 5 \Rightarrow {\log _3}\left( {4x + 1} \right) \ge {\log _3}5\\
2x + 1 \ge 3 \Rightarrow {\log _5}\left( {2x + 1} \right) \ge {\log _5}3
\end{array} \right. \Rightarrow {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) \ge {\log _3}5 + {\log _5}3 \ge 2\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) - 2 > 0\\
 \Rightarrow VT \ge 0
\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right) - 2} \right]\) ta có:

ĐKXĐ: \(x >  - \frac{1}{4}\)

\(f'\left( x \right) = {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) - 2 + \left( {x - 1} \right)\left[ {\frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}} + \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 5}}} \right] > 0\,\,\forall x \ge 1\) 

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Xét \( - \frac{1}{4} < x < 1\)

PT: \( \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left[ {2 - {{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2 - m\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left[ {2 - {{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) - {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right) =  - 2 + {\log _3}\left( {4x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) + \left( {1 - x} \right)\left[ { - \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}} - \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 5}}} \right] < 0\,\,\forall x \in \left( { - \frac{1}{4};1} \right) \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \frac{1}{4};1} \right)\)

Từ đó ta có BBT của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right) - 2} \right]\) như sau:

\(\Rightarrow \) Để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thì \(2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2\)

Kết hợp điều kiện đề bài \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in Z\\
m \in [ - 2019;2)
\end{array} \right. \Rightarrow \) có 2021 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.