\(\begin{array}{l} \ln \left( {7{x^2} + 7} \right) \ge \ln \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m\\ m{x^2} + 4x + m > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {7 - m} \right){x^2} - 4x + 7 - m \ge 0\;\;\left( 1 \right)}\\ {m{x^2} + 4x + m > 0\;\;\left( 2 \right)} \end{array}} \right. \end{array}\)

Bất phương trình đã cho đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi các bất phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

Xét \(\left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \left( 1 \right)\).

+ Khi m=7 ta có \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0\). Do đó m=7 không thỏa mãn.

+ Khi \(m\ne 7\) ta có \(\left( 1 \right)\) đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7 - m > 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 7\\ 4 - {\left( {7 - m} \right)^2} \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 7\\ m \le 5 \vee m \ge 9 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \le 5\) (*)

Xét \(m{{x}^{2}}-4x+m>0 \left( 2 \right)\)

+ Khi m=0 ta có \(\left( 2 \right)\) trở thành \(-4x>0\Leftrightarrow x<0\). Do đó m=0 không thỏa mãn.

+ Khi \(m\ne 0\) ta có \(\left( 2 \right)\) đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \Delta ' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 4 - {m^2} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - 2 \vee m > 2 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 2\) (**)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( ** \right)\) ta có \(2<m\le 5\). Do \(m\in Z\) nên \(m\in \left\{ 3;4;5 \right\}\). Từ đó S=3+4+5=12.