Ta có: \(\left( {2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x + 2 < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right){x^3} - \left( {2m + 2} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} + m + 1} \right) + 2} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right){x^3} - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right] < 0\,\,\,(*)\end{array}\)

(*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right){x^3} - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right] \ge 0\) (2*) luôn đúng với mọi x

\( \Rightarrow x =  - 1\) là nghiệm của \(\left( {2m + 2} \right){x^3} - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - m + 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow  - \left( {2m + 2} \right) + \left( {{m^2} + m + 1} \right) + \left( {{m^2} - m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

+) \(m = 0\):

\((2*) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^3} - x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0\) luôn đúng với mọi x

\( \Rightarrow m = 0\) : Thỏa mãn.

+) \(m = 1\):

\((2*) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4{x^3} - 3x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi x

\( \Rightarrow m = 1\) : Thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: D