Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
A. \(V = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{18}}\)
B. \(V = \dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\)
C. \(V = \dfrac{{13\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\)
D. \(V = \dfrac{{7\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của NE và CD; của ME và AD. Khi đó, thiết diện của khối tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNE) là tứ giác MNPQ.
*) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD:
Tam giác BCD đều, có các cạnh đều bằng a
\( \Rightarrow {S_{BCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
G là trọng tâm tam giác BCD
\( \Rightarrow GD = \dfrac{2}{3}ND = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
.JPG)
Tam giác AGD vuông tại G \( \Rightarrow AG = \sqrt {A{D^2} - G{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Thể tích khối tứ diện đều ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}.AG.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Dễ dàng chứng minh Q, P lần lượt là trọng tâm các tam giác ABE, BCE \( \Rightarrow \dfrac{{QE}}{{ME}} = \dfrac{{PE}}{{NE}} = \dfrac{2}{3}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{E.DQP}}}}{{{V_{E.BMN}}}} = \dfrac{{EQ}}{{EM}}.\dfrac{{EP}}{{EN}}.\dfrac{{ED}}{{EB}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{9}\) \( \Rightarrow {V_{BMN.DQP}} = \dfrac{7}{9}{V_{E.BMN}}\)
*) Tính thể tích khối chóp E.BMN:
\({V_{E.BMN}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {M,\left( {BCD} \right)} \right).{S_{\Delta BNE}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right).{S_{\Delta BCD}}\) \( = \dfrac{1}{2}{V_{ABCD}}\) (do \({S_{BNE}} = 2{S_{BND}} = 2.\dfrac{1}{2}{S_{BCD}} = {S_{BCD}}\))
\( \Rightarrow {V_{BMN.DQP}} = \dfrac{7}{9}{V_{E.BMN}} = \dfrac{7}{9}.\dfrac{1}{2}{V_{ABCD}} = \dfrac{7}{{18}}{V_{ABCD}}\)
Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A \( \Rightarrow V = {V_{ABCD}} - {V_{BMN.DQP}} = \dfrac{{11}}{{18}}{V_{ABCD}} = \dfrac{{11}}{{18}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \) \(\dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\).
Chọn: B
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) xác định trên R\{1} . Đạo hàm của hàm số là:
Cho hàm số \(y = f(x)\), biết rằng hàm số \(y = f'(x - 2) + 2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.JPG)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tâm \(O\). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(HK\) và \(SD\).
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a;CD = a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của AD. Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M(1;3) là trung điểm của cạnh BC, \(N\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm trên cạnh AC sao cho \(AN = \dfrac{1}{4}AC\) . Xác định tọa độ điểm D, biết D nằm trên đường thẳng \(x - y - 3 = 0\)
Đồ thị sau đây là của hàm số\(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\). Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\)có ba nghiệm phân biệt ?
.JPG)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\) tại điểm \(x = 0\).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\) là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:
Có 5 học sinh lớp 12A1, 3 học sinh lớp 12A2, 2 học sinh lớp 12D1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng dài. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó, giá trị của \(M.m\) là:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{1 - x}}\) trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng:
.JPG)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2mx + 1}}{{x - m}}\,\) với tham số \(m \ne 0\). Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây ?
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\) có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
