Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S_2};...;{S_n}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_{n - 1}}.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3},...,{V_{n - 1}},{V_n}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_{n - 1}},{S_n}\) và \(V\) là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức \(T = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V}\)
A. \(\frac{3}{5}\)
B. \(\frac{6}{{13}}\)
C. \(\frac{7}{9}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh \(l\).
Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cũng chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chóp là \({r_1} = \frac{1}{3}\frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{l\sqrt 3 }}{6}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{AH'}}{{AH}} = \frac{{AH - HH'}}{{AH}} = \frac{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2} - \frac{{l\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AA' = \frac{l}{3}\)
.JPG)
Tương tự ta tìm được \({r_2} = \frac{l}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{6} = \frac{{l\sqrt 3 }}{{18}} = \frac{{{r_1}}}{3}\). Tiếp tục như vậy ta có \({r_3} = \frac{{{r_1}}}{{{3^2}}},\,\,{r_4} = \frac{{{r_1}}}{{{3^3}}},\,\,...,\,\,{r_n} = \frac{{{r_1}}}{{{3^{n - 1}}}}\).
Ta có : \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_1^3,\,\,{V_2} = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{{r_1}}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{{3^3}}}{V_1},\,\,{V_3} = \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}}{V_1},...;{V_n} = \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}{V_1}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1}\left( {1 + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}} \right)}}{V} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1}.S}}{V}\)
Đặt \(S = 1 + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}\).
Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{{{3^3}}} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{3^3}}}}} = \frac{{27}}{{26}}\)
\( \Rightarrow {V_1} + {V_2} + ... + {V_n} = \frac{{27}}{{26}}{V_1} = \frac{{27}}{{26}}.\frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{l\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi {l^3}\)
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2}.\frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 \pi {l^3}}}{{24}}\)
\( \Rightarrow T = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi {l^3}}}{{\frac{{\sqrt 3 \pi {l^3}}}{{24}}}} = \frac{6}{{13}}\).
Chọn B.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) . Gọi \(M,{\rm N}\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\) . Biết \(\left( {AM{\rm N}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) . Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Cho hàm số \(y = \frac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
Hình vẽ bên là đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right)\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2019} \right) + m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của \(S\) bằng
.JPG)
Công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có đường sinh \(l\) , bán kính đáy \(r\) là
Xác định số thực \(x\) để dãy số \(\log 2;\,\log 7;\,\log x\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3a\) . Điểm \(H\) thuộc cạnh \(AC\) với \(HC = a.\) Dựng đoạn thẳng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) với \(SH = 2a.\) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(2cm\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),B\left( { - 1;2;3} \right).\) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là
Cho hai số thực \(x,\,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} \). Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - a} \right|\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;\,10} \right]\) của tham số \(a\) để \(M \ge 2m\)?
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) , cạnh \(AB = 6,AC = 8\) và \(M\) là trung điểm của cạnh Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác quanh cạnh là
Tập hợp tất cả các số thực \(x\) không thỏa mãn bất phương trình \({9^{{x^2} - 4}} + \left( {{x^2} - 4} \right){.2019^{x - 2}} \ge 1\) là khoảng \(\left( {a;b} \right)\) . Tính \(b - a\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) . Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + m - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị \(\left( C \right)\) có đúng một tiếp tuyến song song với trục \(Ox.\) Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là
Hàm số \(y = - {x^4} - {x^2} + 1\) có mấy điểm cực trị ?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 4}}{{x + 1}}\) (với m là tham số thực) có bảng biến thiên dưới đâyMệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
