Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O',\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a. \) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \(O'\)lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO'.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O'.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?
A. \(AD=4a\sqrt{2}.\)
B. \(AD=8a. \)
C. \(AD=2a. \)
D. \(AD=2a\sqrt{3}.\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.PNG)
Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm \(O\) lần lượt tại \(B',C'.\)
Vì \(AD\) và \(BC\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( AB;CD \right)\) với hai mặt phẳng song song nên \(AD//BC. \)
Suy ra: \(AD//B'C'\) hay \(AB'C'D\) là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
\(\left\{ \begin{array}{l} B'C' \bot DC'\\ B'C' \bot CC' \end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot CD\) mà \(BC//B'C'\) suy ra \(BC\bot CD. \)
Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Đặt \(BC=AD=2x,\) gọi \(I,I'\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC. \)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} OI' \bot BC\\ OO' \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OO'I'} \right) \Rightarrow \left( {OO'I'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và có giao tuyến \(I'I.\)
Từ \(O'\) kẻ đường vuông góc với \(I'I\) tại \(H,\) suy ra \(O'H\) là đường cao của hình chóp \(O'.ABCD\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(OO'\) và \(I'I,J\) là trung điểm của \(OO'.\)
Ta có: \(OI=O'I'=\sqrt{O'{{C}^{2}}-I'{{C}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.\)
\(DC'=2.OI=2\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow DC=\sqrt{DC{{'}^{2}}+CC{{'}^{2}}}=\sqrt{4\left( 16{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+16{{a}^{2}}}=2\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\)
\(\frac{1}{O'{{H}^{2}}}=\frac{1}{O'{{J}^{2}}}+\frac{1}{O'I{{'}^{2}}}=\frac{O'{{J}^{2}}+O'I{{'}^{2}}}{O'{{J}^{2}}.O'I{{'}^{2}}}\Rightarrow O'H=\frac{O'J.O'I'}{\sqrt{O'{{J}^{2}}+O'I{{'}^{2}}}}=\frac{2A. \sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\)
Suy ra: \({{V}_{O'.ABCD}}=\frac{1}{3}.O'H.AD.DC=\frac{1}{3}.\frac{2a\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.2x.2\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{8}{3}.x\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\)
\(=\frac{8a}{3}\sqrt{{{x}^{2}}\left( 16{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}\le \frac{8a}{3}.\frac{{{x}^{2}}+16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\frac{64{{a}^{3}}}{3}.\)
Vậy \(\max {{V}_{O'.ABCD}}=\frac{64{{a}^{3}}}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a\Rightarrow AD=4\sqrt{2}a. \)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=x{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right).\) Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{4-3x}{4x+5}\) là
Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA=a\sqrt{2}.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({{\log }_{a}}x;{{\log }_{\sqrt{a}}}y;{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q=\frac{2017x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}.\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(AB=3a;AC=2a\) và \(AD=a. \) Tính thể tích của khối tứ diện đã cho?
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Hàm số \(y=f\left( 1-2x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng \(R=3a,\) đường sinh \(l=5a,\) thể tích của khối nón bằng bao nhiêu?
Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho biểu thức \(P={{a}^{3}}\sqrt[4]{{{a}^{5}}}\) với \(a>0.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]?\)
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=a. \) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C. \) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+5\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\). Khi đó tổng \(M+m\) bằng
Cho hình trụ với hai đáy là đường tròn đường kính \(2a,\) thiết diện qua trục là hình chữ nhật có diện tích bằng \(6{{a}^{2}}.\) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng
Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;+\infty \right)?\)
