Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\) , khoảng cách giữa \(SA,BC\) là \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\) . Biết hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác \(ABC,\) tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
A. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
B. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
.JPG)
Dựng hình bình hành \(ABCD\).
Gọi O là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) \(\left( {O \in \left( {ABCD} \right)} \right)\)
Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC và AD lần lượt tại H và K.
Khi đó ta có \(HM \bot BC;\,HM \bot AD;\,SO \bot BC;SO \bot AD\) (do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\))
suy ra \(BC \bot \left( {SHM} \right);AD \bot \left( {SHM} \right)\)
Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(MN \bot SH\) tại \(N\) và \(HK \bot SM\) tại \(K.\)
Ta có \(MN \bot SH\) và \(MN \bot BC\) (do \(BC \bot \left( {SHM} \right)\)) nên \(MN \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(N \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = MN\)
Vì \(AD//BC \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right);\,M \in AD \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = MN = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Tương tự ta có \(HK \bot \left( {SAD} \right)\) tại \(K \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = HK\)
Vì \(BC//AD \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right);H \in BC \Rightarrow d\left( {BC;SA} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = HK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Xét tam giác \(SHM\) có hai đường cao bằng nhau \(MN = HK\) nên tam giác \(SHM\) cân tại S. Lại có \(SO \bot MN \Rightarrow O\) là trung điểm của \(MN.\)
Ta có \({S_{ABCD}} = MH.BC = 2{S_{ABC}} \Leftrightarrow MH.a = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow MH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OM = \dfrac{{MH}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Xét tam giác \(MKH\) vuông tại \(K \Rightarrow MK = \sqrt {M{H^2} - H{K^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{15{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }}\)
Ta có \(\Delta MKH\) dồng dạng với \(\Delta MOS\)(g-g) nên \(\dfrac{{KH}}{{SO}} = \dfrac{{MK}}{{MO}} \Rightarrow SO = \dfrac{{MO.HK}}{{MK}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Khi đó thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Chọn B.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Tính \(\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 2;0} \right);B\left( {2;1; - 2} \right);C\left( {0;3;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 2018{x^2} - 2019\) là
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) bằng
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).
Cho điểm \(M\left( {1;2;5} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) cắt trục tọa độ \(Ox;Oy;Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
Cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);B\left( { - 1;0;4} \right);C\left( {0; - 2; - 1} \right)\) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), biết \(AB = a,AC = 2a\) và \(A'B = 3a\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) , đường thẳng \((d):y = m(x + {\rm{ }}1)\) với \(m\) là tham số, đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = 2x - 7.\) Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt \(A( - 1;0);{\rm{ }}B;{\rm{ }}C\) sao cho \(B,C\) cùng phía với \(\Delta \) và \(d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 - x\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tính\(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\) Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạo bởi \((SAC)\) và \((SCD).\)
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(a.\) Một hình vuông \(ABCD\) có \(AB;{\rm{ }}CD\) là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng \((ABCD)\) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng
