Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số f(x), có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \sin x.{\cos ^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx\) bằng
A. \( - \frac{{121}}{{225}}\)
B. \(\frac{2}{{232}}\)
C. \( - \frac{{232}}{{345}}\)
D. \(\frac{{92}}{{232}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có \(I = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\sin x.{{\cos }^2}2xdx = \int {\sin x{{\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}^2}dx} } \)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\)
Suy ra \(I = - \int {{{\left( {2{t^2} - 1} \right)}^2}dt = - \int {\left( {4{t^4} - 4{t^2} + 1} \right)dt = - \frac{4}{5}{t^5} + \frac{4}{3}{t^3} - t + c} } \)
Hay \(I = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C\)
Mà \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x\)
Tích phân \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \frac{4}{5}{{\cos }^5}x + \frac{4}{3}{{\cos }^3}x - \cos x} \right)} dx\)
\(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( { - \frac{4}{5}{{\cos }^4}x + \frac{4}{3}{{\cos }^2}x - 1} \right)} dx\)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( { - \frac{4}{5}{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2} + \frac{4}{3}\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 1} \right)} dx\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Khi đó \(J = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{4}{5}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2} + \frac{4}{3}\left( {1 - {t^2}} \right) - 1} \right]dt} = - \frac{{121}}{{225}}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Xét tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}\ln xdx} \). Nếu đặt \(lnx = t\) thì \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}\ln xdx} \) bằng
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 1 - t\\
z = 1
\end{array} \right.\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của f'(x) như sau. Điểm cực đại của hàm số trên là
.png)
Thể tích của một khối lập phương cạnh \(\dfrac12\) bằng:
Trong không gian Oxyz cho điểm A( - 2;0;1); B(0;2;3) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z - 1 = 0.\) Đường thẳng d qua trung điểm I của AB và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
.png)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z - 3 = 0\)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _3}x + xy = {\log _3}\left( {8 - y} \right) + x\left( {8 - x} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 16x\) bằng?
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 30o; Hình chiếu vuông góc của B' lên mp (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'B'C').
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\frac{{{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 2 - m}}{{x - 1}}} \right|\), trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,3} \right]} f\left( x \right) + 2\mathop {max}\limits_{\left[ {2\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\). Số phần tử của tập S là
Cho hình nón (N) có đường kính đáy bằng 4a, đường sinh bằng 5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón (N).
Cho số phức \(\overline z = (1 - i)(1 + 2i)\). Giả sử điểm M là điểm biểu diễn số phức z. Điểm M thuộc đường thẳng nào?
Xét các số thực a, b thỏa mãn: \({\log _8}({4^a}{.8^b}) = {\log _4}1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC = a\sqrt 3 \) (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng
.png)
