Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\) và \(f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\), đồng thời \(f'\left( x \right)+{{\left( 1+f\left( x \right) \right)}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1.\) Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=a\ln 3+b,a,b\in \mathbb{Z}.\) Tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}.\)
A. S = -1
B. S = 2
C. S = 0
D. S = -4
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \(f'(x){{(1+f(x))}^{2}}={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(f(x))}^{2}}(x-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}<=>\frac{f'(x){{(1+f(x))}^{2}}}{{{f}^{4}}(x)}={{(x-1)}^{2.}}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được \(\int{\frac{f'(x){{(1+f(x))}^{2}}}{{{f}^{4}}(x)}dx=\int{{{(x-1)}^{2}}dx}}\)
\(\begin{array}{l} < = > \int {\frac{{(1 + 2f(x) + {f^2}(x))f'(x)}}{{{f^4}(x)}}dx} = \int {{{(x - 1)}^2}dx} \\ < = > \int {\left( {\frac{1}{{{f^4}(x)}} + 2\frac{1}{{{f^3}(x)}} + \frac{1}{{{f^2}(x)}}} \right)} d(f(x)) = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ < = > - \frac{1}{{3{f^3}(x)}} - \frac{1}{{{f^2}(x)}} - \frac{1}{{f(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ < = > - \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C \end{array}\)
Mà \(f(1)=-1=>-\frac{1-3+3}{-3}=C=>C=\frac{1}{3}\)
\(\begin{array}{l} = > - \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + \frac{1}{3}\\ < = > \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} + \frac{1}{3} = - \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3}\\ < = > \frac{{{{(1 + f(x))}^3}}}{{{f^3}(x)}} = - {(x - 1)^3}\\ < = > {\left( {1 + \frac{1}{{f(x)}}} \right)^3} = {(1 - x)^3}\\ < = > f(x) = \frac{{ - 1}}{x}. \end{array}\)
Vậy \(\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{-1}{x}dx}=-\ln |x|\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=-\ln 3\). Suy ra a=-1;b=0 hay a+b=-1.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-5}{3}.\) Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
.jpg.png)
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\) là
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left( -2;2;0 \right),\overrightarrow{b}=\left( 2;2;0 \right),\overrightarrow{c}=\left( 2;2;2 \right).\) Giá trị của \(\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right|\) bằng
Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2 ;4 ;6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
Cho các số phức \({{z}_{1}}=1+3i,{{z}_{2}}=-5-3i\). Tìm điểm \(M\left( x;y \right)\) biểu diễn số phức \({{z}_{3}}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x-2y+1=0 và mô đun số phức \(\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{7}}x\) với \(\left( x>0 \right).\)
Trog mặt phẳng Oxy, số phức z=-2+4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ duới đây?
.jpg.png)
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=2}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx=5}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{\left( f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right)dx}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2;\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=6.\) Tính \(I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}\).
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right|.\)
Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với x,y nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)?\)
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z+1=0\). Tọa độ tâm I của mặt cầu là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+z-5=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)?\)
