Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\) và \(f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\), đồng thời \(f'\left( x \right)+{{\left( 1+f\left( x \right) \right)}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1.\) Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=a\ln 3+b,a,b\in \mathbb{Z}.\) Tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}.\)
A. S = -1
B. S = 2
C. S = 0
D. S = -4
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \(f'(x){{(1+f(x))}^{2}}={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(f(x))}^{2}}(x-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}<=>\frac{f'(x){{(1+f(x))}^{2}}}{{{f}^{4}}(x)}={{(x-1)}^{2.}}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được \(\int{\frac{f'(x){{(1+f(x))}^{2}}}{{{f}^{4}}(x)}dx=\int{{{(x-1)}^{2}}dx}}\)
\(\begin{array}{l} < = > \int {\frac{{(1 + 2f(x) + {f^2}(x))f'(x)}}{{{f^4}(x)}}dx} = \int {{{(x - 1)}^2}dx} \\ < = > \int {\left( {\frac{1}{{{f^4}(x)}} + 2\frac{1}{{{f^3}(x)}} + \frac{1}{{{f^2}(x)}}} \right)} d(f(x)) = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ < = > - \frac{1}{{3{f^3}(x)}} - \frac{1}{{{f^2}(x)}} - \frac{1}{{f(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ < = > - \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C \end{array}\)
Mà \(f(1)=-1=>-\frac{1-3+3}{-3}=C=>C=\frac{1}{3}\)
\(\begin{array}{l} = > - \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + \frac{1}{3}\\ < = > \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} + \frac{1}{3} = - \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3}\\ < = > \frac{{{{(1 + f(x))}^3}}}{{{f^3}(x)}} = - {(x - 1)^3}\\ < = > {\left( {1 + \frac{1}{{f(x)}}} \right)^3} = {(1 - x)^3}\\ < = > f(x) = \frac{{ - 1}}{x}. \end{array}\)
Vậy \(\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{-1}{x}dx}=-\ln |x|\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=-\ln 3\). Suy ra a=-1;b=0 hay a+b=-1.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-5}{3}.\) Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
.jpg.png)
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\) là
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left( -2;2;0 \right),\overrightarrow{b}=\left( 2;2;0 \right),\overrightarrow{c}=\left( 2;2;2 \right).\) Giá trị của \(\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right|\) bằng
Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2 ;4 ;6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
Cho các số phức \({{z}_{1}}=1+3i,{{z}_{2}}=-5-3i\). Tìm điểm \(M\left( x;y \right)\) biểu diễn số phức \({{z}_{3}}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x-2y+1=0 và mô đun số phức \(\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{7}}x\) với \(\left( x>0 \right).\)
Trog mặt phẳng Oxy, số phức z=-2+4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ duới đây?
.jpg.png)
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=2}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx=5}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{\left( f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right)dx}\).
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right|.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2;\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=6.\) Tính \(I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}\).
Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với x,y nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)?\)
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). Cosin của góc hợp bởi \(\left( A'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng
.png)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+z-5=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)?\)
