Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(y={{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), biết rằng tồn tại hai điểm A, B thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A, B và đường thẳng pháp tuyến của hai tiếp tuyến đó tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và hai tiếp tuyến, \(S{{}_{2}}\) là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi các tiếp tuyến và pháp tuyến tại A,B. Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) ?
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{{125}}{{768}}\)
D. \(\frac{{125}}{{128}}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đặt \(A\left( a\,;\,{{a}^{2}} \right)\) và \(B\left( b\, ;\,{{b}^{2}} \right)\). Không mất tính tổng quát, ta xét a>0 và b<0
\(\left( {{d}_{1}} \right)\) là đường tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại A và \(\left( {{d}_{2}} \right)\) là đường tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại B
\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( {{d}_{1}} \right):y=2ax-{{a}^{2}} \\ \left( {{d}_{2}} \right):y=2bx-{{b}^{2}} \\ \end{matrix} \right.\)
Do \(\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)\) nên
\({{k}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}.{{k}_{\left( {{d}_{2}} \right)}}=-1\Leftrightarrow \left( 2a \right).\left( 2b \right)=-1\Rightarrow b=\frac{-1}{4a}\Rightarrow B\left( \frac{-1}{4a}\,;\,\frac{1}{16{{a}^{2}}} \right)\)
\(\Rightarrow \left( {{d}_{2}} \right):y=\frac{-x}{2a}-\frac{1}{16{{a}^{2}}}\)
\({{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\) tại \(E\left( \frac{4{{a}^{2}}-1}{8a}\,;\,\frac{-1}{4} \right)\)
\(\Rightarrow \) chiều dài \(D=\frac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{8a}\) và chiều rộng \(R=\frac{\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}{16{{a}^{2}}}\)
Mà \(D=2.R\Rightarrow a=1\Rightarrow {{S}_{2}}=\frac{{{\left( 4{{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{128{{a}^{3}}}=\frac{125}{128}\) và suy ra \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left( {{d}_{1}} \right):y=2x-1 \\ & \left( {{d}_{2}} \right):y=\frac{-x}{2}-\frac{1}{16} \\ \end{align} \right.\)
Với a=1 suy ra \(E\left( \frac{4{{a}^{2}}-1}{8a}\,;\,\frac{-1}{4} \right)\) có tọa độ \(E\left( \frac{3}{8};-\frac{1}{4} \right)\).
Suy ra \({{S}_{1}}=\int\limits_{-\frac{1}{4}}^{\frac{3}{8}}{\left[ {{x}^{2}}-\left( \frac{-x}{2}-\frac{1}{16} \right) \right]}dx+\int\limits_{\frac{3}{8}}^{1}{\left[ {{x}^{2}}-\left( 2x-1 \right) \right]}dx=\frac{125}{768}\)
Như vậy tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{125}{768}.\frac{128}{125}=\frac{128}{768}=\frac{1}{6}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?
Tích phân \(\int\limits_1^2 {2{x^4}} {\rm{d}}x\) bằng
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) là
Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC với \(A(3;1;2),\,B(-3;2;5),C(1;6;-3)\) là
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 0;4;3 \right)\) và \(B\left( 3;-2;0 \right)\)?
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4x+\sin x\) là
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;1;2 \right)\) và \(B\left( \sqrt{3};1;3 \right)\) thoả mãn \(AB\bot BC,AB\bot AD, AD\bot BC\). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB, đường thẳng CD di động và luôn tiếp xúc với mặt cầu (S). Gọi \(E\in AB,F\in CD\) và EF là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Biết rằng đường thẳng \((\Delta )\bot EF;(\Delta )\bot AB\) và \(d\left( A;\left( \Delta \right) \right)=\sqrt{3}\) . Khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD lớn nhất bằng
Cho hàm số \(f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) và \(g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right)\) cùng với x=-1, x=1 là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y=g(x). Khi đó số điểm cực trị của hàm y=g(x) là
Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy \(r=5\text{cm}\) và có chiều cao \(h=10\text{cm}\). Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
.jpg.png)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( { - x} \right)}}} {\rm{d}}x = a + b\sqrt c \) với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỷ tối giãn . Tính P = a + b + c
Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm \(M\left( 3;-5 \right)\). Xác định số phức liên hợp \(\bar{z}\) của z.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\)?
Điểm biểu diễn hình học của số phức z=2-3i là điểm nào trong các điểm sau đây?
Tính môđun của số phức z biết \(\bar{z}=\left( 4-3i \right)\left( 1+i \right)\).
