Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) - {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \).
A. \(P = \dfrac{7}{2}\)
B. \(P = \dfrac{3}{2}\)
C. \(P = \dfrac{9}{2}\)
D. \(P = \dfrac{1}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \({\left( {b - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right) \Rightarrow {b^2} - b + \dfrac{1}{4} \ge 0,\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right) \Rightarrow b - \dfrac{1}{4} \le {b^2},\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right)\)
Mà \(\dfrac{1}{4} < a < 1\) nên \({\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2}\).
Do đó \(P \ge {\log _a}{b^2} - {\log _{\dfrac{a}{b}}}\sqrt b = 2{\log _a}b - \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{a}{b}}}b = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\log }_b}\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{{2\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)}}\)
Đặt \({\log _b}a = t\). Do \(b < a < 1\) nên \({\log _b}b > {\log _b}a > {\log _b}1 \Rightarrow 0 < t < 1\)
Suy ra \(P \ge P\left( t \right) = \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}\) với \(0 < t < 1\).
Xét \(P\left( t \right) = \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}\) trên \(\left( {0;1} \right)\) ta có: \(P'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} + 8t - 4}}{{2{t^2}{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3} \in \left( {0;1} \right)\\t = 2 \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
.JPG)
Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(P\left( t \right) \ge \dfrac{9}{2}\) suy ra \(\mathop {\min }\limits_{t \in \left( {0;1} \right)} P\left( t \right) = \dfrac{9}{2}\) khi \(t = \dfrac{2}{3}\).
Do đó \(P \ge P\left( t \right) \Rightarrow P \ge \dfrac{9}{2}\). Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} = b - \dfrac{1}{4}\\{\log _b}a = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{\dfrac{2}{3}}}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{9}{2}\).
Chọn C.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Tính \(\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 2;0} \right);B\left( {2;1; - 2} \right);C\left( {0;3;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 2018{x^2} - 2019\) là
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).
Cho điểm \(M\left( {1;2;5} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) cắt trục tọa độ \(Ox;Oy;Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
Cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);B\left( { - 1;0;4} \right);C\left( {0; - 2; - 1} \right)\) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) , đường thẳng \((d):y = m(x + {\rm{ }}1)\) với \(m\) là tham số, đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = 2x - 7.\) Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt \(A( - 1;0);{\rm{ }}B;{\rm{ }}C\) sao cho \(B,C\) cùng phía với \(\Delta \) và \(d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\) Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạo bởi \((SAC)\) và \((SCD).\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 - x\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tính\(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \).
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(a.\) Một hình vuông \(ABCD\) có \(AB;{\rm{ }}CD\) là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng \((ABCD)\) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \,a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị hàm số như hình bên dưới đây:
.JPG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({f^2}\left( x \right) - \left( {m + 5} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 4m + 4 = 0\) có 7 nghiệm phân biệt?
