Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) - {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \).
A. \(P = \dfrac{7}{2}\)
B. \(P = \dfrac{3}{2}\)
C. \(P = \dfrac{9}{2}\)
D. \(P = \dfrac{1}{2}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Ta có: \({\left( {b - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right) \Rightarrow {b^2} - b + \dfrac{1}{4} \ge 0,\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right) \Rightarrow b - \dfrac{1}{4} \le {b^2},\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right)\)
Mà \(\dfrac{1}{4} < a < 1\) nên \({\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2}\).
Do đó \(P \ge {\log _a}{b^2} - {\log _{\dfrac{a}{b}}}\sqrt b = 2{\log _a}b - \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{a}{b}}}b = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\log }_b}\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{{2\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)}}\)
Đặt \({\log _b}a = t\). Do \(b < a < 1\) nên \({\log _b}b > {\log _b}a > {\log _b}1 \Rightarrow 0 < t < 1\)
Suy ra \(P \ge P\left( t \right) = \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}\) với \(0 < t < 1\).
Xét \(P\left( t \right) = \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}\) trên \(\left( {0;1} \right)\) ta có: \(P'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} + 8t - 4}}{{2{t^2}{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3} \in \left( {0;1} \right)\\t = 2 \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
.JPG)
Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(P\left( t \right) \ge \dfrac{9}{2}\) suy ra \(\mathop {\min }\limits_{t \in \left( {0;1} \right)} P\left( t \right) = \dfrac{9}{2}\) khi \(t = \dfrac{2}{3}\).
Do đó \(P \ge P\left( t \right) \Rightarrow P \ge \dfrac{9}{2}\). Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} = b - \dfrac{1}{4}\\{\log _b}a = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{\dfrac{2}{3}}}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{9}{2}\).
Chọn C.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 2;0} \right);B\left( {2;1; - 2} \right);C\left( {0;3;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Tính \(\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Tập xác định của hàm số \(y = {x^4} - 2018{x^2} - 2019\) là
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) bằng
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) , đường thẳng \((d):y = m(x + {\rm{ }}1)\) với \(m\) là tham số, đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = 2x - 7.\) Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt \(A( - 1;0);{\rm{ }}B;{\rm{ }}C\) sao cho \(B,C\) cùng phía với \(\Delta \) và \(d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\)
Cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right);B\left( { - 1;0;4} \right);C\left( {0; - 2; - 1} \right)\) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 - x\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tính\(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \).
Cho điểm \(M\left( {1;2;5} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) cắt trục tọa độ \(Ox;Oy;Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(a.\) Một hình vuông \(ABCD\) có \(AB;{\rm{ }}CD\) là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng \((ABCD)\) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), biết \(AB = a,AC = 2a\) và \(A'B = 3a\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(B\) , \(AC = a\sqrt {2.} \) \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(SA = a.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBC\) Một mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,G\) và song song với \(BC\) cắt \(SB,\,SC\) lần lượt tại \(B'\) và \(C'\) . Thể tích khối chóp \(S.AB'C'\)bằng:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \,a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị hàm số như hình bên dưới đây:
.JPG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({f^2}\left( x \right) - \left( {m + 5} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 4m + 4 = 0\) có 7 nghiệm phân biệt?
