Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho x, y>0 thỏa mãn \(\log \left( x+2y \right)=\log \left( x \right)+\log \left( y \right)\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\frac{4{{y}^{2}}}{1+x}\) là:
A. 6
B. \(\frac{32}{5}\).
C. \(\frac{31}{5}\)
D. \(\frac{29}{5}\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Điều kiện: x > 0, y > 0.
Ta có: \(\log \left( {x + 2y} \right) = \log \left( x \right) + \log \left( y \right) \Rightarrow \log \left( {x + 2y} \right) = \log \left( {x.y} \right) \Rightarrow x + 2y = xy\,\,\,(*)\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel , ta có: \(P = \frac{{{x^2}}}{{1 + 2y}} + \frac{{{{\left( {2y} \right)}^2}}}{{1 + x}} \ge \frac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{2 + x + 2y}}\).
Theo AM-GM, ta có: \(x + 2y \ge 2\sqrt {x.2y} \mathop = \limits^{(1)} 2\sqrt {2\left( {x + 2y} \right)} \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} \ge 8\left( {x + 2y} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2y \le 0\,\,\,({\rm{L}})\\ x + 2y \ge 8\,\,\,({\rm{N}}) \end{array} \right.\) (do điều kiện x > 0, y > 0). Suy ra \({x + 2y \ge 8}\).
Đặt \(t = x + 2y \ge 8\), ta có: \(P \ge \frac{{{t^2}}}{{t + 2}} = t - 2 + \frac{4}{{t + 2}}\).
\( \Leftrightarrow P \ge \underbrace {\frac{1}{{25}}\left( {t + 2} \right) + \frac{4}{{t + 2}}}_{AM - GM} + \underbrace {\frac{{24}}{{25}}t}_{ \ge \frac{{24}}{{25}}.8} - \frac{{52}}{{25}} \ge 2\sqrt {\frac{4}{{25}}} + \frac{{24}}{{25}}.8 - \frac{{52}}{{25}} = \frac{{32}}{5}\)
Do vậy \({P_{\min }} = \frac{{32}}{5}\).
Dấu đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{1 + 2y}} = \frac{{2y}}{{1 + x}}\\ \underbrace {x + 2y}_t = 8;\,\,\frac{1}{{25}}\left( {t + 2} \right) = \frac{4}{{t + 2}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{8 - 2y}}{{1 + 2y}} = \frac{{2y}}{{1 + 8 - 2y}}\\ x = 8 - 2y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = 2 \end{array} \right..\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( 1;2;0 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}\).
Tìm tập xác định \(\text{D}\) của hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+\ln \left( x-1 \right)\).
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\).
Cho hình nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy \(R=a\sqrt{2}\), góc ở đỉnh bằng \({{60}^{0}}\). Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) và \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z-1=0.\) Gọi B là điểm đối xứng với A qua \(\left( P \right)\). Độ dài đoạn thẳng AB là
Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) và \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\); \(A'O\) vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\). Cạnh bên \(AA'\) hợp với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \({{45}^{0}}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng \(a\). Thể tích khối trụ bằng:
Tính giá trị của biểu thức \(P={{\log }_{a}}\left( a.\sqrt[3]{a\sqrt{a}} \right)\) với \(0<a\ne 1.\)
Cho hai số thực b và c \(\left( c>0 \right)\). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\). Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau?
.png)
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) có đồ thị (C). Chọn mệnh đề sai?
