Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 2y - 9}}{{x + y - 10}}\) khi \(x,\,\,y\) thay đổi.
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
\(\begin{array}{l}{\log _3}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + 2 = {x^2} + {y^2} + xy + 2 - 9x - 9y\,\,\left( {x + y > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {9x + 9y} \right) + \left( {9x + 9y} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Từ \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {9x + 9y} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow 9x + 9y = {x^2} + {y^2} + xy + 2\)
\( \Leftrightarrow 9\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} - xy + 2 \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 9\left( {x + y} \right) + 2\)
Ta có: \(x = x + xy - xy = x\left( {y + 1} \right) - xy \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - xy\) \( \Rightarrow xy \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - x\)
Từ đó \(xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 9\left( {x + y} \right) + 2 \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - x\) \( \Leftrightarrow x \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + 9\left( {x + y} \right) - 2\)
Đặt \(t = x + y > 0\) thì
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x + 2\left( {x + y} \right) - 9}}{{x + y + 10}} = \dfrac{{x + 2t - 9}}{{t + 10}} \le \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} - {t^2} + 9t - 2 + 2t - 9}}{{t + 10}}\\ = \dfrac{{{t^2} + 2t + 1 - 4{t^2} + 44t - 44}}{{4t + 40}} = \dfrac{{ - 3{t^2} + 46t - 43}}{{4t + 40}}\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} + 46t - 43}}{{4t + 40}}\,\,\left( {t \ne 10} \right)\).
Sử dụng MTCT ta tìm được \(\max P = 2\).
Chọn A.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;3;5} \right),\,\,B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC,\,\,BD = DC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như ở hình vẽ bên. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(I\left( {2;\,3;\,4} \right)\) và \(A\left( {1;\,2;\,3} \right).\) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua \(A\) có phương trình là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right){\left( {x + 5} \right)^4}.\) Hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,4x + 3y - 12z + 10 = 0.\) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với \(\left( S \right),\) song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt trục \(Oz\) ở điểm có cao độ dương.
Cho mặt cầu \(S\left( {O;R} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Biết khoảng cách từ O tới \(\left( \alpha \right)\) bằng d. Nếu \(d < R\) thì giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với mặt cầu \(S\left( {O;R} \right)\) là đường tròn có bán kính bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây:
.JPG)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;\,6} \right],\) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên miền \(\left[ { - 2;\,6} \right].\) Tính giá trị của biểu thức \(T = 2M + 3m.\)
.JPG)
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của 1 trong 4 hàm số dưới đây, đó là hàm số nào?
.JPG)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 3m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 6} \right)?\)
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3,\,\,\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x - 3}}{{1 - 2x}}\) bằng số nào sau đây?
Hệ số \({x^6}\) khi khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {5 - 3x} \right)^{10}}\) có giá trị bằng đại lượng nào sau đây?
Một khối trụ bán kính đáy là \(a\sqrt 3 ,\) chiều cao là \(2a\sqrt 3 .\) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
.JPG)
