Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 2\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\). Giá trị của \(M + m\) bằng:
A. \( - 4\)
B. \( - \dfrac{1}{2}\)
C. \( - 6\)
D. \(1 - 4\sqrt 2 \)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
\(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {2 - xy} \right) - 3xy\)
Đặt \(t = x + y \Rightarrow {t^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 2 + 2xy \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\).
Vì \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {t^2} \ge 2\left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 2\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = 2t\left( {2 - \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) - 3\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\\P = 4t - 4{t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 3\\P = - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3 = f\left( t \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3\) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 2;2} \right]\\t = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{{13}}{2} = \max P;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = - 7 = \min P \Rightarrow M + m = \dfrac{{13}}{2} - 7 = - \dfrac{1}{2}\).
Chọn B.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}}\). Đạo hàm cấp 2018 của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng \(BC:\,\,x + 7y - 13 = 0\). Các chân đường cao kẻ từ B, C lần lượt là \(E\left( {2;5} \right);\,\,F\left( {0;4} \right)\). Biết tọa độ đỉnh A là \(A\left( {a;b} \right)\). Khi đó:
Hàm số có đạo hàm bằng \(2x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là:
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 27x + 3m - 2\) đạt cực trị tại \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 5\). Biết \(S = \left( {a;b} \right]\). Tính \(T = 2b - a\) ?
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đặt \(AA' = a;\,\,AB = b,\,\,AC = c\). Gọi I là điểm thuộc đường thẳng CC’ sao cho \(\overrightarrow {C'I} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {C'C} \), G là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) . Biểu diễn vectơ\(\overrightarrow {IG} \) qua các vectơ \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b ;\,\,\overrightarrow c \). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a;\,\,SB = 4a;\,\,SC = 5a\). Tính theo a thể tích V của khối tứ diện S.ABC.
Giá trị của m làm cho phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2mx + m + 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt là:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là:
Cho hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2x + 5\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Trong các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho \(AM = DN = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\). Khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số \(y =| 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m - 1|\) có 7 điểm cực trị là:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a;\,\,AD = 2a\). Biết SA vuông góc với đáy (ABCD), \(SA = a\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 5\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
